Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой "с". Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол "фи". Найдите высоту пирамиды

Answer 1

Все ребра наклонены под одинаковым углом к основанию поэтому основание высоты пирамиды - это центр окружности, описаной около треуголника то есть = точка О- средина гипотенузы АВ Рассмотрим треуг АОД д- вершина пирамиды в нем угол О=90 АО= 1/2 * на с угол А равен фи тангенс ФИ = отношению ДО к АО ДО= 1/2 * С * тангенс фи

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольного треугольника и пирамиды.

1. Обозначим через \( a \) и \( b \) катеты прямоугольного треугольника, так что \( a \) и \( b \) образуют прямой угол, а \( c \) - гипотенуза. В данной задаче \( c \) равно длине бокового ребра пирамиды.

2. Высота \( h \) пирамиды проведена из вершины прямоугольного треугольника \( ABC \) (где \( A \) - вершина угла \( \phi \), \( B \) и \( C \) - основание прямоугольного треугольника). Таким образом, мы получаем два подобных треугольника: \( ABC \) и \( ADE \), где \( D \) - нижний конец высоты, а \( E \) - точка на гипотенузе, где высота пересекает ее.

3. По свойствам подобных треугольников, отношение соответствующих сторон равно отношению высот:

\[ \frac{h}{AD} = \frac{BC}{AC} \]

Также, отношение катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике \( ABC \):

\[ \frac{a}{c} = \frac{AD}{AC} \]

Из этих двух уравнений можно выразить высоту \( h \):

\[ h = \frac{a}{c} \cdot BC \]

4. Теперь, чтобы выразить \( BC \) через заданные данные, воспользуемся определением тангенса угла \( \phi \):

\[ \tan(\phi) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \tan(\phi) \]

Подставим это обратно в формулу для \( h \):

\[ h = \frac{c \cdot \tan(\phi)}{c} \cdot BC = \tan(\phi) \cdot BC \]

Таким образом, высота пирамиды равна произведению длины бокового ребра на тангенс угла \( \phi \):

\[ h = c \cdot \tan(\phi) \]