Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CE, которые пересекаются в точке O.Площадь треугольника BEK равна 2, площадь треугольника ABC равна 18, длина отрезка EK равна 2 корней из 2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Answer 1

Решение смотри в файле. Задачка хороша. Можно и по-другому решать, но мне кажется , что это простое довольно красивое решение.
Вроде так.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся следующими свойствами:

1) В остроугольном треугольнике высоты пересекаются в одной точке - ортоцентре треугольника.

2) Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон и радиус описанной окружности следующим образом: S = (abc) / (4R), где a, b, c - длины сторон треугольника, R - радиус описанной окружности.

3) Длина отрезка, соединяющего вершину треугольника с ортоцентром, равна удвоенному радиусу описанной окружности.

Используя эти свойства, решим задачу.

Пусть a, b, c - длины сторон треугольника ABC. Тогда площадь треугольника ABC равна:

S(ABC) = (abc) / (4R) = 18.

Площадь треугольника BEK равна:

S(BEK) = (EK * BE * BK) / 2 = 2.

Так как длина отрезка EK равна 2√2, то BK = 2√2.

Также из свойства 3) следует, что BK = 2R, где R - радиус описанной окружности.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Высота AK является медианой, поэтому AK = 2BM, где BM - медиана, проведенная из вершины B.

Так как треугольник ABC остроугольный, то точка M делит сторону AC в отношении 2:1. Значит, AM = 2MC.

Таким образом, AK = 2BM = 2BM + 2MC = 2BC.

Теперь рассмотрим треугольник BEK. Высота CE является медианой, поэтому CE = 2BN, где BN - медиана, проведенная из вершины B.

Так как треугольник BEK остроугольный, то точка N делит сторону EK в отношении 2:1. Значит, EN = 2NK.

Таким образом, CE = 2BN = 2BN + 2NK = 2BK.

Так как CE = 2BK, то 2BK = 2R, откуда BK = R.

Теперь мы знаем, что BK = 2√2 и BK = R. Следовательно, R = 2√2.

Таким образом, радиус описанной окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2√2.