Question

СРОЧНО! ПРЯМО СЕЙЧАС! В ШКОЛУ НУЖНО!Средняя линия трапеции делит её на две трапеции меньшего размера. Докажите,что модуль разности между площадями этих трапеций равен четверти произведения высоты и разности оснований исходной трапеции.

Answer 1

Решение во вложении. Смог как только смог, извини если поздно.

Answer 2

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, и пусть MN - средняя линия трапеции, которая делит ее на две трапеции APMN и CDMN.

Пусть h - высота трапеции, a - длина основания AB, b - длина основания CD, и x - длина отрезка MN.

Так как MN - средняя линия, то она параллельна основаниям AB и CD, и ее длина равна полусумме длин оснований:

x = (a + b) / 2

Площадь трапеции APMN равна половине произведения суммы оснований на высоту:

S1 = (a + x) * h / 2 = (a + (a + b) / 2) * h / 2 = (2a + b) * h / 4

Аналогично, площадь трапеции CDMN равна:

S2 = (b + x) * h / 2 = (b + (a + b) / 2) * h / 2 = (a + 2b) * h / 4

Тогда модуль разности площадей этих трапеций равен:

|S1 - S2| = |(2a + b) * h / 4 - (a + 2b) * h / 4| = |(2a + b - a - 2b) * h / 4| = |(a - b) * h / 4|

С другой стороны, разность оснований исходной трапеции равна:

|a - b|

Таким образом, модуль разности площадей этих трапеций равен четверти произведения высоты и разности оснований исходной трапеции:

|S1 - S2| = |(a - b) * h / 4|

Доказано.