Question

Точка М является серединой боковойточка М является серединой боковой стороны АВ трапеции ABCD.Найдите площадь трапеции,если площадь треугольника MCD равна 34.

Answer 1

Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции АВСД. Найдите площадь трапеции. если площадь. треугольника МСД равна 34. 
-------
 Сделаем рисунок.
Проведем МН параллельно основаниям трапеции.
МН - средняя линия трапеции и делит СН пополам.
МН - медиана треугольника СМД.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих. ⇒
S △ МСН=S △МДН=34:2=17
Продолжим прямую ВС за пределы трапеции.
Через точку М проведем параллельно СД прямую до пересечения с прямой ВС в точке К, с АД - в точке Е.
Тогда МКСН и МЕДН - равные параллелограммы - их противоположные стороны равны и параллельны.
Диагональ параллелограмма делит его площадь пополам.
Площадь МКС=площади МСН=17, а
S КМНС=S МЕДН=17*2=34
В треугольниках МКВ и МАЕ имется две равные по условию стороны: АМ=МВ
Углы при М равны как вертикальные, углы при В и А равны как накрестлежащие при параллельных прямых. 
Треугольник МКВ=треугольнику МАЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно,S МКСН=S МВСН+S △ АМЕ, 
а S КСДЕ =S трапеции АВСД. 
S (АВСД=34*2=68 ( ед. площади)

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойство точки М, которая является серединой боковой стороны AB трапеции ABCD. Это свойство гласит, что линия, соединяющая середины двух сторон трапеции, параллельна основаниям и равна их полусумме.

Обозначим точки следующим образом: - A, B, C, D - вершины трапеции; - M - середина боковой стороны AB; - P - точка пересечения линии, соединяющей середины AD и BC.

Так как точка M является серединой боковой стороны AB, то MP является медианой треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины C, и лежат на одной и той же основе CD трапеции. Таким образом, площади этих треугольников относятся как их основания (отрезки AD и BC).

Также, в силу свойства медианы, известно, что MP делит сторону CD пополам.

Имеем следующее соотношение площадей треугольников: \[S_{ACD} : S_{BCD} = AD : BC.\]

Также, так как MP делит сторону CD пополам: \[S_{ACD} : S_{BCD} = MP : PD.\]

Теперь у нас есть два равенства, и мы можем объединить их: \[AD : BC = MP : PD.\]

Используем это равенство для выражения PD через AD и BC: \[PD = \frac{BC}{AD} \cdot MP.\]

Теперь мы знаем, что PD относится к MP как BC к AD.

Также, известно, что площадь треугольника MCD равна 34. Мы можем выразить эту площадь через MP и PD: \[S_{MCD} = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot PD.\]

Подставим выражение для PD: \[S_{MCD} = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot \frac{BC}{AD} \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot \frac{MP^2 \cdot BC}{AD}.\]

Теперь у нас есть выражение для площади треугольника MCD через MP, BC и AD. По условию, эта площадь равна 34: \[34 = \frac{1}{2} \cdot \frac{MP^2 \cdot BC}{AD}.\]

Разделим обе стороны на 1/2: \[68 = \frac{MP^2 \cdot BC}{AD}.\]

Умножим обе стороны на AD и поделим на BC: \[68 \cdot AD = MP^2.\]

Теперь у нас есть выражение для квадрата MP. Найдем MP: \[MP = \sqrt{68 \cdot AD}.\]

Также мы знаем, что MP равна половине длины AB: \[MP = \frac{1}{2} \cdot AB.\]

Теперь мы можем выразить AB через AD: \[\frac{1}{2} \cdot AB = \sqrt{68 \cdot AD}.\]

Умножим обе стороны на 2: \[AB = 2 \cdot \sqrt{68 \cdot AD}.\]

Теперь у нас есть выражение для длины боковой стороны AB трапеции через длину AD. Также мы знаем, что точка M является серединой боковой стороны AB, поэтому AM = MB.

Таким образом, длина AM равна половине длины AB: \[AM = \frac{1}{2} \cdot AB = \sqrt{68 \cdot AD}.\]

Теперь у нас есть выражение для AM. Найдем площадь трапеции ABCD.

Площадь трапеции равна сумме площадей двух треугольников AMC и BMD: \[S_{\text{трапеции}} = S_{\text{треугольника AMC}} + S_{\text{треугольника BMD}}.\]

Так как AM = MB, то площади этих треугольников равны: \[S_{\text{треугольника AMC}} = S_{\text{треугольника BMD}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CD.\]

Подставим выражение для AM: \[S_{\text{треугольника AMC}} = S_{\text{треугольника BMD}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{68 \cdot AD} \cdot CD.\]

Теперь у нас есть выражение для площадей треугольников. Сложим их, чтобы найти площадь трапеции: \[S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{68 \cdot AD} \cdot CD + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{68 \cdot AD} \cdot CD.\]

Факторизуем выражение: \[S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{68 \cdot AD} \cdot CD \cdot (1 + 1).\]

Упростим: \[S_{\text{трапеции}} = \sqrt{68 \cdot AD} \cdot CD.\]

Теперь подставим известное значение площ