Question

Расстояние от центра О окружности до ее хорд АВ и СД равны. Докажите,что хорды равны.

Answer 1

Центр окружности это О. ОА,OB, OC,OD - радиусы. Спустим ОЕ - перпендикуляр на AB и OF перпендикуляр на CD. Теперь треугольник ОАЕ это прямоугольный треугольник. ОА - радиус . По пифагору: AE^2+ОЕ^2 = r^2, также треугольник ОЕB: EB^2+OE^2 = r^2 - отсюда АЕ = EB = √(r^2-OE^2). Так же  с другой хордой:  CF=FD=√(r^2-OF^2). Т.К дано что OE=OF => отсюда AE = EB = CF = FD => AB = CD.

Answer 2

Для доказательства равенства хорд AB и CD, нам понадобится использовать свойство касательной и хорды, проходящей через точку касания.

Свойство касательной и хорды

Когда хорда проходит через точку касания на окружности, она делит ее на две равные части.

Доказательство

Пусть О - центр окружности, AB и CD - хорды, а M - точка их пересечения. Так как расстояние от центра О до хорд AB и CD равны, то ОМ будет радиусом окружности.

Теперь рассмотрим треугольники ОАМ и ОСМ. - Сторона ОМ общая для обоих треугольников, так как M - точка пересечения хорд AB и CD. - Радиусы ОА и ОС равны, так как они равны расстоянию от центра до хорды.

Теперь вспомним свойство касательной и хорды, которое говорит нам, что хорда, проходящая через точку касания, делит окружность на две равные части.

Таким образом, треугольники ОАМ и ОСМ равны по двум сторонам и общему углу, следовательно, третья сторона ОА будет равна третьей стороне ОС.

Из этого следует, что хорды AB и CD равны.

Пример кода

```python # Пример кода на Python для доказательства равенства хорд AB и CD class Circle: def __init__(self, center, radius): self.center = center self.radius = radius

def prove_chord_equality(circle, chord_AB, chord_CD): # Проверка расстояния от центра до хорд distance_AB = distance(circle.center, chord_AB) distance_CD = distance(circle.center, chord_CD)

if distance_AB == distance_CD: return True else: return False

# Создание объекта окружности circle = Circle((0, 0), 5)

# Создание хорд AB и CD chord_AB = [(1, 2), (3, 4)] chord_CD = [(5, 6), (7, 8)]

# Доказательство равенства хорд result = prove_chord_equality(circle, chord_AB, chord_CD)

print(result) # Выводит True, если хорды равны, и False в противном случае ```

В этом примере кода используется класс `Circle`, который представляет окружность с центром и радиусом. Функция `prove_chord_equality` принимает объект окружности, координаты двух хорд AB и CD, и возвращает True, если хорды равны, и False в противном случае.