Question

3. Дана призма ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60◦. ОтрезокD1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка,если площадь боковой поверхности призмы равна 6(√3 + 2)Помогите решить, пожалуйста!

Answer 1

Дано: основание призмы - это квадрат АВСD со стороной а, Sбок=6*(√3 + 2). Диагональ грани АА1D1D AD1 перпендикулярна плоскости АВСD. Значит призма имеет две грани, перпендикулярные к плоскости основания (АА1D1D и BB1C1C) и две грани, наклоненные к этой плоскости на угол 60° (AA1B1B и DD1C1C). Площадь боковой поверхности призмы тогда будет состоять из суммы площадей боковых граней, из которых две грани - параллелограммы с основанием а и высотой AD1 и две грани - прямоугольники с основанием а и высотой DD1. Осталось найти значения DD1 и AD1, выраженные через сторону основания а. В прямоугольном треугольнике АD1D катет АD, равный а, лежит против угла в 30° (так как дано, что угол АDD1= 60°). Значит DD1=2a, а AD1=а*√3 (по Пифагору). Итак, площадь двух граней- параллелограммов равна 2*а*а√3 = 2а²√3, а площадь двух граней-прямоугольников равна 2*а*2а = 4а². Сумма же их равна (дано) 6*(√3+2). Итак, 2а²√3 + 4а² = 6*(√3+2) или 2а²(√3+2)=6*(√3+2). Откуда а² = 3, а основание а=√3.
Тогда искомый отрезок АD1 = а*√3 = √3*√3=3.
Ответ АD1=3.
Рисунок прилагается.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся формулой для площади боковой поверхности прямоугольной призмы:

Sбп = 2 * (a * h),

где a - длина стороны основания, h - высота призмы.

В нашем случае, площадь боковой поверхности равна 6(√3 + 2). Поэтому,

2 * (a * h) = 6(√3 + 2).

Разделим обе части уравнения на 2:

a * h = 3(√3 + 2).

Так как в основании призмы лежит квадрат, то a = a1 = a2 = a3 = a4. Поэтому,

4 * a * h = 3(√3 + 2).

Теперь рассмотрим треугольник D1AD. Отрезок D1A - это высота призмы. Так как отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания, то он является высотой призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник D1AD. Угол между гипотенузой и катетом равен 60°, поэтому угол между гипотенузой и высотой призмы также равен 60°.

Теперь мы можем применить формулу синуса для нахождения длины отрезка D1A:

sin(60°) = D1A / h.

Подставим известные значения:

sin(60°) = (√3) / D1A.

Так как sin(60°) = √3 / 2, то

√3 / 2 = (√3) / D1A.

Упростим выражение, умножив обе части на D1A:

√3 * D1A = 2 * (√3).

Теперь разделим обе части уравнения на √3:

D1A = 2.

Таким образом, длина отрезка D1A равна 2.