Question

Дано вершины треугольника A (-2,2) B (3,4) C (2, 1). Найти уравнение медианы AM и высоты BD, угол при вершине С.

Answer 1

Находим координаты точки М - середины стороны ВС:
М((3+2)/2=2,5; (4+1)/2=2,50 = (2,5; 2,5).
Уравнение медианы АМ : (Х-Ха)/(Хм-Ха) = (У-Уа)/(Ум-Уа).
Подставив координаты точек, получаем каноническое уравнение::
$\frac{x+2}{4,5} = \frac{y-2}{0,5}$, или приведя к целым знаменателям $\frac{x+2}{9} = \frac{y-2}{1} .$
Приведя к общему знаменателю, получаем обще уравнение медианы АМ:
Х - 9У + 20 = 0.
Или в виде уравнения с коэффициентом:
у = (1/9)х + (20/9).

Высота АД перпендикулярна АС, поэтому составляем уравнение стороны АС:
АС: (х+2)/4 = (у-2)/-1,
АС: х+4у-6=0,
АС: у = -(1/4)х+(6/4).
Коэффициент а высоты ВД равен -1/(-(1/4)) = 4.
Подставим координаты точки В:
4= 4*3+С, отсюда С = 4-12 =-8.
Уравнение высоты ВД: у = 4х-8.

Для определения углов нужны длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √29 ≈ 5.385164807,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈ 3.16227766,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √17 ≈ 4.123105626.

cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС) = -0.076696 (по теореме косинусов).
Угол С равен  1.647568 радиан или 94.39871 градусов.

Answer 2

Уравнение медианы AM

Медиана AM - это отрезок, соединяющий вершину треугольника A с серединой стороны BC. Чтобы найти уравнение медианы AM, нужно сначала найти координаты середины стороны BC, а затем использовать эти координаты для составления уравнения прямой.

Для нахождения координат середины стороны BC, можно воспользоваться следующей формулой:

x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин B и C соответственно.

Дано: A(-2, 2) B(3, 4) C(2, 1)

Найдем координаты середины стороны BC:

x = (3 + 2) / 2 = 2.5 y = (4 + 1) / 2 = 2.5

Таким образом, координаты середины стороны BC равны (2.5, 2.5).

Теперь, когда у нас есть координаты точки M (середина стороны BC), мы можем составить уравнение прямой, проходящей через точки A и M. Для этого можно воспользоваться уравнением прямой в общем виде:

y - y1 = m(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты точки A, а m - угловой коэффициент прямой.

Для нахождения углового коэффициента m, нужно использовать формулу:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и M соответственно.

Подставляя значения в формулу, получим:

m = (2.5 - 2) / (2.5 - (-2)) = 0.5 / 4.5 = 1/9

Теперь мы можем записать уравнение прямой:

y - 2 = (1/9)(x - (-2))

Упростив это уравнение, получим окончательный ответ:

y = (1/9)x + (16/9)

Таким образом, уравнение медианы AM равно y = (1/9)x + (16/9).

Уравнение высоты BD

Чтобы найти уравнение высоты BD, нужно найти координаты точки D, а затем составить уравнение прямой, проходящей через точки B и D.

Для начала, найдем координаты точки D. Высота BD - это отрезок, перпендикулярный стороне AC и проходящий через вершину B.

Для нахождения координат точки D, можно воспользоваться формулой для нахождения перпендикулярного вектора:

x = x1 - (y2 - y1) y = y1 + (x2 - x1)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин A и C соответственно.

Дано: A(-2, 2) C(2, 1)

Подставляя значения в формулу, получим:

x = -2 - (1 - 2) = -1 y = 2 + (2 - (-2)) = 6

Таким образом, координаты точки D равны (-1, 6).

Теперь мы можем составить уравнение прямой, проходящей через точки B и D. Для этого используем уравнение прямой в общем виде:

y - y1 = m(x - x1)

Где (x1, y1) - координаты точки B, а m - угловой коэффициент прямой.

Для нахождения углового коэффициента m, используем формулу:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B и D соответственно.

Подставляя значения в формулу, получим:

m = (6 - 4) / (-1 - 3) = 2 / -4 = -1/2

Теперь мы можем записать уравнение прямой:

y - 4 = (-1/2)(x - 3)

Упростив это уравнение, получим окончательный ответ:

y = (-1/2)x + 5.5

Таким образом, уравнение высоты BD равно y = (-1/2)x + 5.5.

Угол при вершине C

Чтобы найти угол при вершине C, нужно воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами:

cos θ = (A · B) / (|A| * |B|)

Где A и B - векторы, соответствующие сторонам треугольника, в данном случае AC и BC. |A| и |B| - длины этих векторов, а (A · B) - их скалярное произведение.

Для нахождения длины вектора, можно воспользоваться формулой:

|A| = √(x^2 + y^2)

Для начала, найдем векторы AC и BC.

AC = (2 - (-2), 1 - 2) = (4, -1) BC = (2 - 3, 1 - 4) = (-1, -3)

Теперь найдем длины этих векторов:

|AC| = √(4^2 + (-1)^2) = √(16 + 1) = √17 |BC| = √((-1)^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10

Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BC:

(AC · BC) = (4 * -1) + (-1 * -3) = -4 + 3 = -1

Подставляя значения в формулу для нахождения угла, получим:

cos θ = (-1) / (√17 * √10)

Теперь найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса:

θ = arccos((-1) / (√17 * √10))

Вычислив это выражение, получим значение угла θ.

Угол при вершине C равен θ.