Question

Точки M и N лежат по разные стороны от прямой А,причём отрезок MN делится точкой пересечения с прямой А пополам.Докажите что перпендикуляры прведённые из точек M и N равны.

Answer 1

Если MN перпендикулярен А, B - точка пересечения MN и A, то MB и NB - перпендикуляры к прямой A, по условию, MB=NB.

 

Если MN не перпедикулярен A, B - точка пересечения MN и A, MC и ND - проекции на A точек M и N. Тогда MCB и BND - прямоугольные треугольники, в которых гипотенузы MB и NB равны, и равны также углы MBC и NBD как вертикальные. Тогда эти треугольники равны, и катеты MC и ND, лежащие против равных углов, также равны, что и требовалось.

Answer 2

Задача

Дана прямая А и точки M и N, которые лежат по разные стороны от прямой А. Отрезок MN делится точкой пересечения с прямой А пополам. Необходимо доказать, что перпендикуляры, проведенные из точек M и N, равны.

Решение

Для доказательства равенства перпендикуляров, проведенных из точек M и N, воспользуемся свойством симметрии.

Пусть перпендикуляр, проведенный из точки M, пересекает прямую А в точке P, а перпендикуляр, проведенный из точки N, пересекает прямую А в точке Q.

Так как отрезок MN делится точкой пересечения с прямой А пополам, то точка P является серединой отрезка MN, а точка Q также является серединой отрезка MN.

Из этого следует, что отрезок MP равен отрезку NP, и отрезок MQ равен отрезку NQ.

Таким образом, перпендикуляры, проведенные из точек M и N, равны.

Ответ

Перпендикуляры, проведенные из точек M и N, равны. Данное утверждение можно доказать с использованием свойства симметрии.