Question

Даны точки А(0;0), В(1;-1), C(4;2). Найдите скалярное произведение ВС*АС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Answer 1

ВС: (4-1;2-(-1))=(3;3)

АС: (4-0;2-0)=(4;2)

АВ=(1-0;-1-0)=(1;-1)

 

ВС*АС=3*4+3*2=18

 

АС*АВ=3*1+3*(-1)=0, значит угол А=90 градусов (угол между вектрами, векторное произведение которых равно 0)

а значит треугольник АВС прямоугольный

 

Answer 2

Для начала, найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), используя координаты точек \(A\), \(B\), и \(C\):

\(\overrightarrow{AB} = \langle x_B - x_A, y_B - y_A \rangle\)

\(\overrightarrow{AC} = \langle x_C - x_A, y_C - y_A \rangle\)

Дано:

\(A(0, 0)\)

\(B(1, -1)\)

\(C(4, 2)\)

Тогда:

\(\overrightarrow{AB} = \langle 1 - 0, (-1) - 0 \rangle = \langle 1, -1 \rangle\)

\(\overrightarrow{AC} = \langle 4 - 0, 2 - 0 \rangle = \langle 4, 2 \rangle\)

Теперь найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 4) + ((-1) \cdot 2) = 4 - 2 = 2\)

Теперь докажем, что треугольник \(ABC\) прямоугольный. Треугольник прямоугольный, если квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Длины сторон:

\(AB\) (длина катета) = \(\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

\(AC\) (длина катета) = \(\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

\(BC\) (длина гипотенузы) = \(\sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

Теперь проверим условие:

\((BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2\)

\((3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{5})^2\)

\(18 = 2 + 20\)

Условие выполняется, поэтому треугольник \(ABC\) действительно прямоугольный.