Question

Треугольник АВС, BD - биссектриса, АВ=5, ВС=8, угол ABC=45°, нужно найти площади ABD и BDC

Answer 1

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin\frac{\pi}{4}=10\sqrt{2}$

Как известно, биссектриса делит сторону AC на отрезки AD и DC, пропорциональные боковым сторонам, то есть

$\frac{AD}{DC}=\frac{5}{8}.$

А поскольку в треугольниках ABD и DBC высоты, опущенные из вершины B, совпадают,

$\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}}=\frac{AD}{DC}=\frac{5}{8},$

то есть площадь треугольника ABD составляет пять частей, а площадь треугольника DBC - восемь частей площади треугольника abc. Поэтому

$S_{ABD}=\frac{5}{13}S_{ABC}=\frac{5}{13}\cdot 10\sqrt{2}=\frac{50}{13}\sqrt{2};$

$S_{DBC}=\frac{8}{13}\cdot 10\sqrt{2}=\frac{80}{13}\sqrt{2}$

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть треугольник ABC, где BD - биссектриса угла B, AB = 5, BC = 8, и угол ABC = 45°.

Мы можем воспользоваться законом синусов, чтобы найти длину отрезка BD, а затем воспользоваться формулой для площади треугольника.

1. Найдем длину BD с использованием закона синусов:

\[ \frac{BD}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BD}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\angle BAC)} \]

\[ BD = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(\angle BAC)} \]

Теперь нам нужно найти \(\sin(\angle BAC)\). Мы знаем, что угол ABC = 45°, и сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB \]

\[ \angle BAC = 180^\circ - 45^\circ - (\text{угол ACB}) \]

2. Теперь найдем угол ACB:

\[ \angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC \]

\[ \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - (\text{угол BAC}) \]

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти BD и продолжить с расчетами.

3. После того, как мы найдем BD, можем использовать формулу для площади треугольника:

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \]

\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \]

Подставим значения и вычислим площади. Уточним значения углов и длин сторон, чтобы завершить вычисления.