Question

Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.

Answer 1

Смотри на прикрепленную картинку. 

Answer 2

Решение:

Для начала найдем радиус шара и радиус основания конуса.

Пусть \( r \) - радиус шара, \( h \) - высота конуса, \( R \) - радиус основания конуса.

Так как диаметр шара равен высоте конуса, то \( 2r = h \).

Также, образующая конуса равна \( \sqrt{R^2 + h^2} \), и у нас есть информация, что эта образующая составляет с плоскостью основания угол в 60°. Поэтому мы можем записать:

\[ \tan(60°) = \frac{R}{h} \]

Используя то, что \( 2r = h \), мы можем выразить радиус основания конуса через радиус шара:

\[ \tan(60°) = \frac{R}{2r} \] \[ R = 2r \tan(60°) \]

Теперь мы можем перейти к нахождению объемов шара и конуса.

Объем шара: \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Объем конуса: \[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (2r \tan(60°))^2 (2r) = \frac{4}{3} \pi r^3 \tan^2(60°) \]

Теперь найдем отношение объемов конуса и шара: \[ \frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \tan^2(60°)}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \tan^2(60°) \]

Используя значение тангенса 60° (которое равно \( \sqrt{3} \)), мы получаем: \[ \frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = (\sqrt{3})^2 = 3 \]

Таким образом, отношение объема конуса к объему шара равно 3.