Question

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 4√13, сторона основания 12√3. Найти поверхность описанного шара.

Answer 1

Около любой правильной пирамиды можно описать шар.Поскольку вершины пирамиды  лежат на поверхности шара, его центр — точка пересечения прямой, содержащей  высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.
Разберемся с пирамидой.
Пирамида правильная, поэтому в основании лежит правильный треугольник. Радиус описанной около правильного треугольника АВС окружности 
r=АО1=(√3/3)*а, где "а" - сторона треугольника.
В нашем случае О1А=(√3/3)*12√3=12.
SO1 - высота пирамиды, которую найдем по Пифагору из треугольника SO1A:  SO1=√(SA²-AO1²) или SO1=√(208-144)=8.
Мы видим, что высота пирамиды меньше радиуса описанной около основания  окружности. Это значит, что центр описанного около пирамиды шара будет  лежать ВНЕ пирамиды.
Опишем вокруг пирамиды шар.
Рассмотрим треугольник SOА. Он равнобедренный, так как SO=AO=R (как радиусы  шара). Следовательно, OР — его высота, медиана и биссектриса.
Прямоугольные треугольники SРO и SO1А подобны по острому углу S. Из подобия  имеем: SO/SA=SP/SO1.
SA=4√13 (дано), SP=SA/2=2√13 (так как ОР - медиана), SO=R - радиус шара, SO1=8 - высота пирамиды, которую мы нашли ранее. Тогда:
R/4√13=2√13/8, отсюда R=13.
Площадь поверхности шара Sш=4πR² или Sш=676π ед².

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для площади боковой поверхности пирамиды:

Sб = (1/2) * p * l,

где Sб - площадь боковой поверхности пирамиды, p - периметр основания пирамиды, l - длина бокового ребра пирамиды.

Периметр основания пирамиды равен 3 * сторона основания:

p = 3 * 12√3 = 36√3.

Подставим полученные значения в формулу:

Sб = (1/2) * 36√3 * 4√13 = 72√39.

Теперь найдем радиус описанного шара, используя формулу:

R = (1/2) * l,

где R - радиус описанного шара, l - длина бокового ребра пирамиды.

Подставим значение длины бокового ребра:

R = (1/2) * 4√13 = 2√13.

Наконец, найдем площадь поверхности описанного шара, используя формулу:

Sшара = 4 * π * R^2,

где Sшара - площадь поверхности описанного шара, π - число Пи, R - радиус описанного шара.

Подставим значение радиуса:

Sшара = 4 * π * (2√13)^2 = 4 * π * 4 * 13 = 208π.

Ответ: площадь поверхности описанного шара равна 208π.