Question

Треугольники ABC и А1В1С1 подобны. Их сходственные стороны соответственно АВ = 2 и А1В1 = 5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника А1В1С1 равна 100.

Answer 1

Площади подобных треугольников относятся как квадраты и линейных размеров
А₁В₁/АВ=5:2=2,5   2,5²=6,25
100:6,25= 16
ответ 16

Answer 2

Для начала, по определению подобных треугольников, отношение длин соответственных сторон треугольников ABC и А1В1С1 будет одинаково. То есть:

AB / A1B1 = BC / B1C1 = AC / A1C1

Из условия задачи известно, что AB = 2 и A1B1 = 5. Подставим эти значения в формулу:

2 / 5 = BC / B1C1

Теперь нам нужно найти отношение длин сторон BC и B1C1. Обозначим это отношение как k:

BC / B1C1 = k

Тогда мы можем записать:

2 / 5 = k

Отсюда находим значение k:

k = 2 / 5

Теперь нам нужно найти площадь треугольника ABC. По определению, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Обозначим площадь треугольника ABC как S.

S = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC)

Мы знаем, что AB = 2 и AC = k * A1C1. Подставим эти значения в формулу:

S = (1/2) * 2 * (k * A1C1) * sin(∠BAC)

Также из условия задачи известно, что площадь треугольника A1B1C1 равна 100. По аналогии с предыдущей формулой, площадь треугольника A1B1C1 можно выразить через длины его сторон и синус соответствующего угла. Обозначим площадь треугольника A1B1C1 как S1.

S1 = (1/2) * A1B1 * A1C1 * sin(∠B1A1C1)

Мы знаем, что A1B1 = 5 и A1C1 = 5 * k. Подставим эти значения в формулу:

100 = (1/2) * 5 * (5 * k) * sin(∠B1A1C1)

Теперь у нас есть два уравнения:

S = (1/2) * 2 * (k * A1C1) * sin(∠BAC) 100 = (1/2) * 5 * (5 * k) * sin(∠B1A1C1)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения S и ∠BAC.

Подставим A1C1 = 5 * k в первое уравнение:

S = (1/2) * 2 * (k * (5 * k)) * sin(∠BAC) S = k^2 * 5 * sin(∠BAC)

Теперь подставим это выражение для S во второе уравнение:

100 = (1/2) * 5 * (5 * k) * sin(∠B1A1C1) 100 = 25 * k * sin(∠B1A1C1)

Теперь мы можем выразить sin(∠B1A1C1) через sin(∠BAC) и k:

sin(∠B1A1C1) = (100 / (25 * k))

Подставим это выражение для sin(∠B1A1C1) в первое уравнение:

S = k^2 * 5 * sin(∠BAC) S = k^2 * 5 * (100 / (25 * k)) S = 20 * k

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 20 * k. Зная значение k = 2 / 5, мы можем вычислить площадь треугольника ABC:

S = 20 * (2 / 5) S = 8

Площадь треугольника ABC равна 8.