Question

На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки MA и PB. Докажите что ANBQ параллелограмм

Answer 1

Дано: MNPQ - прямоугольник
MP - диагональ
МА = РВ
Доказать: ANBQ - параллелограмм.

Доказательство:
1.Рассмотрим треугольники PBN и MAQ.
Они равны по двум сторонам и углу между ними: 
PN=MQ как противоположные стороны прямоугольника 
ВР=АМ по условию
уголNPM=уголQMP (как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых PN и MQ секущей МР.)
 Из равенства треугольников следует, что их стороны AQ=BN
2.Рассмотрим треугольники PBQ и MAN. Они  равны по двум сторонам и углу между ними:
PQ=MN как противоположные стороны прямоугольника
ВР=АМ по условию
<QPM=<NMP (как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых MN и PQ секущей МР.) 
Из равенства треугольников следует, что их стороны BQ=AN
Используя признак параллелограмма о том, что, если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (AQ=BN и BQ=AN), то этот четырехугольник - параллелограмм, делаем вывод, что ANBQ - параллелограмм, что и требовалось доказать!

Answer 2

Given Information

We are given a rectangle MNPQ, where MP and NP are the diagonals. On the diagonals, equal segments MA and PB are drawn.

To Prove

We need to prove that quadrilateral ANBQ is a parallelogram.

Proof

To prove that ANBQ is a parallelogram, we need to show that opposite sides are parallel.

Let's consider the diagonals MP and NP of rectangle MNPQ. Since MP and NP are diagonals of a rectangle, they bisect each other. Let the point of intersection be O.

Now, let's consider the segments MA and PB. We are given that MA and PB are equal in length. Since MA and PB are equal, they are congruent.

By the definition of congruent segments, we know that congruent segments have equal length. Therefore, MA = PB.

Since MA = PB, we can conclude that triangles MOA and POB are congruent by the Side-Side-Side (SSS) congruence criterion.

By the definition of congruent triangles, we know that congruent triangles have equal corresponding angles and equal corresponding sides.

Therefore, angle MOA = angle POB and angle M = angle P.

Now, let's consider the quadrilateral ANBQ. We know that angle MOA = angle POB and angle M = angle P.

By the definition of a parallelogram, we know that opposite angles in a parallelogram are congruent.

Therefore, angle MOA = angle POB = angle M = angle P.

Since opposite angles in quadrilateral ANBQ are congruent, we can conclude that ANBQ is a parallelogram.

Hence, we have proved that ANBQ is a parallelogram.

Note: The proof provided above is based on the given information and the properties of rectangles and congruent triangles.