Question

Докажите что площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Answer 1

Пусть АВСД параллелограмм и его диагонали пересекаются в точек О. Тогда площадь параллелограмма равна сумме площадей тр-ков АОВ, ВОС, СОД и АОД. Пусть Угол АОД = Х, тогда угол ВОС =Х, Угол АОВ =180 -Х. угол СОД = 180-Х
Известно, что sin X = sin ( 180 -X)
площадь каждого тр-ка равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, поэтому площадь параллелограмма равна
0,5 ОА*ОВ*sin X +0,5 ОА*ОД*sin X+ 0,5 ОС*ОД*sin X+
0,5 ОС*ОВ*= 0,5 sin X * ( ОА*ОВ +ОА*ОД+ ОС*ОД+ОС*ОВ) =
=0,5 sin X* АС*ВД ( группируя первой слагаемое со вторым. а третье с четвёртым и т. д)

Answer 2

 ОА*ОВ +ОА*ОД+ ОС*ОД+ОС*ОВ) =0,5 sin X* АС*ВД

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением площади параллелограмма и свойствами синуса.

Площадь параллелограмма можно выразить как произведение длин одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Обозначим стороны параллелограмма как a и b, а высоту как h.

Таким образом, площадь S параллелограмма можно записать как S = a * h.

Диагонали параллелограмма делят его на два треугольника. Обозначим длину диагонали, проведенной между углами A и C, как d1, а длину диагонали, проведенной между углами B и D, как d2.

Согласно свойству синуса, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно удвоенной радиус-векторной площади этого треугольника. То есть, sin(угол) = 2 * S / a.

Применим это свойство к треугольнику ACD, образованному диагоналями параллелограмма. Заметим, что высота h является синусом угла между диагоналями. Таким образом, sin(угол) = 2 * S / d1.

Аналогично, применим это свойство к треугольнику BCD. Здесь также получим sin(угол) = 2 * S / d2.

Таким образом, получаем два равенства: sin(угол) = 2 * S / d1 и sin(угол) = 2 * S / d2.

Сравнивая эти два равенства, получаем 2 * S / d1 = 2 * S / d2.

Домножим оба равенства на d1 и d2 соответственно: 2 * S = d1 * sin(угол) и 2 * S = d2 * sin(угол).

Сложим эти два равенства: 2 * S + 2 * S = d1 * sin(угол) + d2 * sin(угол).

Упростим: 4 * S = (d1 + d2) * sin(угол).

Диагонали параллелограмма можно представить в виде векторов: d1 = AC и d2 = BD.

Таким образом, d1 + d2 = AC + BD.

Угол между диагоналями равен углу между векторами AC и BD.

Таким образом, sin(угол) = sin(угол между векторами AC и BD).

Возвращаясь к предыдущей формуле, получаем: 4 * S = (AC + BD) * sin(угол между векторами AC и BD).

Так как AC + BD равно длине отрезка AB, то 4 * S = AB * sin(угол между векторами AC и BD).

Делим обе части равенства на 4: S = (AB * sin(угол между векторами AC и BD)) / 4.

Таким образом, площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: S = (d1 * d2 * sin(угол между векторами AC и BD)) / 2.

Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.