Question

В треугольнике ABC угол С равен 60 град. Биссектриса CD равна 5√3. АС относится к ВС как 5/2. Найдите ВС и тангенс угла А

Answer 1

Пусть AC=5x; BC=2x
Воспользуемся теоремой
Площадь тр-ка равна половине произведения его сторон на синус угла между ними
Sabc=1/2*AC*BC*sinC=1/2*5x*2x*sin60=5x^2*√3/2=5√3/2*x^2
С другой стороны,
Sabc=Sacd+Sdcb
Sacd=1/2*AC*CD*sin30=1/2*5x*5√3*1/2=25√3/4*x
Sdcb=1/2*DC*BC*sin30=1/2*5√3*2x*1/2=10√3/4*x
Sabc=25√3/4*x+10√3/4*x=35√3/4*x
Получаем уравнение:
5√3/2*x^2=35√3/4*x
Делим обе части на 5√3⇒
x^2/2=7x/4⇒2x^2=7x⇒2x^2-7x=0⇒x(2x-7)=0; x≠0⇒2x-7=0⇒2x=7⇒
BC=7
Чтобы найти тангенс угла А, нужно знать AB
Найдем по теореме косинусов:
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cosA=25x^2+4x^2-2*5x*2x*cos60=
=29x^2-2*10x^2*1/2=29x^2-10x^2=19x^2⇒AB=x√19
Теперь воспользуемся теоремой синусов
BC:sinA=AB:sinC⇒sinA=BC*sinC:AB
sinA=2x*sin60:x√19⇒sinA=2x*√3/2:x√19=√3/√19
(cosA)^2=1-(sinA)^2=1-3/19=16/19⇒cosA=4/√19⇒
tgA=sinA/cosA=√3/√19:4/√19=√3/4
tgA=√3/4

Answer 2

Дано: - Угол C в треугольнике ABC равен 60 градусов. - Длина биссектрисы CD равна 5√3. - Отношение длин AC к BC равно 5/2.

Решение:

Нахождение длины BC:

Для удобства рассмотрим треугольник ACD, в котором известны две стороны и угол между ними. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины стороны BC.

Закон косинусов гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

Где: - c - длина стороны, противолежащей углу C - a и b - длины двух других сторон треугольника - C - угол между сторонами a и b

В нашем случае: - c - длина стороны BC - a - длина стороны AC - b - длина стороны AB - C - угол C, равный 60 градусов

Подставив известные значения в формулу, получаем:

BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2*AC*AB*cos(C)

Учитывая, что отношение длин AC к BC равно 5/2, мы можем заменить AC в формуле, получив:

BC^2 = (5/2*BC)^2 + AB^2 - 2*(5/2*BC)*AB*cos(C)

Упростив выражение, получаем:

BC^2 = 25/4*BC^2 + AB^2 - 5*BC*AB*cos(C)

Выразим BC^2 через AB^2:

BC^2 - 25/4*BC^2 = AB^2 - 5*BC*AB*cos(C)

-24/4*BC^2 = AB^2 - 5*BC*AB*cos(C)

-6*BC^2 = AB^2 - 5*BC*AB*cos(C)

Нахождение тангенса угла A:

Для нахождения тангенса угла A мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Где: - a, b, c - длины сторон треугольника - A, B, C - соответствующие углы треугольника

В нашем случае: - a - длина стороны BC - b - длина стороны AC - c - длина стороны AB - A - угол A

Подставив известные значения в формулу, получаем:

BC/sin(A) = AC/sin(60) = AB/sin(60)

Учитывая, что sin(60) = √3/2, мы можем заменить sin(60) в формуле, получив:

BC/sin(A) = AC/(√3/2) = AB/(√3/2)

Упростив выражение, получаем:

BC/sin(A) = 2/√3 * AC = 2/√3 * (5/2 * BC)

BC/sin(A) = 5BC/√3

Перенесем sin(A) в знаменатель:

BC = (5BC/√3) * sin(A)

Учитывая, что sin(A) = 1/cos(A), мы можем заменить sin(A) в формуле, получив:

BC = (5BC/√3) * (1/cos(A))

Упростив выражение, получаем:

BC = (5/√3) * (1/cos(A)) * BC

1 = (5/√3) * (1/cos(A))

Нахождение BC и тангенса угла A:

Мы получили два уравнения:

-6*BC^2 = AB^2 - 5*BC*AB*cos(C)

1 = (5/√3) * (1/cos(A))

Для нахождения BC и тангенса угла A нам нужно решить эту систему уравнений. Однако, у нас отсутствует информация о длине стороны AB, и мы не можем найти точные значения BC и тангенса угла A без этой информации.

Мы можем заменить длину стороны AB на переменную x и использовать уравнение для нахождения BC:

-6*BC^2 = x^2 - 5*BC*x*cos(60)

1 = (5/√3) * (1/cos(A))

К сожалению, без конкретных значений для стороны AB или дополнительной информации, мы не можем решить эту систему уравнений.