Question

Дано: В разностороннем треугольнике АВС угол А 120 градусов. Бисектрисы внешних углов при вершинах В и С перехрещиваются в точке О. Найдите угол ВОС.

Answer 1

В треугольнике АВС <A=120*.

Обозначим <B=a, тогда <C=180*-120*-a=60*-a.

Внешний угол при вершине В равен 180*-а,

внешний угол при вершине С равен 180*-(60*-а)=120*+а.

В треугольнике ОВС <OBC=(180*-a):2=90*-a/2,

                               <OCB=(120*+a):2=60*+a/2.

<ВOС=180*-(90*-a/2)-(60*+a/2)=180*-90*+a/2-60*-a/2=30*

 

Ответ: 30*

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать свойство, что биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке O, а биссектриса внутреннего угла при вершине A пересекает сторону BC в точке D. Тогда, по свойству, ∠BOD = ∠COD = 90°. Также, по определению биссектрисы, ∠BOC = ∠BAC/2 = 60°. Тогда, по теореме о сумме углов треугольника, ∠BOD + ∠BOC + ∠COD = 180°, откуда ∠BOD = ∠COD = (180° - 60°)/2 = 60°. Следовательно, ∠BOS = ∠BOD - ∠DOS = 60° - ∠DOS. Аналогично, ∠COS = ∠COD - ∠DOS = 60° - ∠DOS. Тогда, по теореме о сумме углов треугольника, ∠BOS + ∠COS + ∠BOS = 180°, откуда ∠BOS = (180° - 2∠DOS)/2. Значение угла ∠DOS зависит от длин сторон треугольника ABC, поэтому точный ответ на задачу нельзя дать без дополнительной информации. Однако, можно сказать, что ∠BOS лежит в пределах от 0° до 90°, так как ∠DOS лежит в пределах от 0° до 60°.