Question

Докажите, что середина отрезка CD равноудалены от параллельно прямых c и d, на которых лежат его концы

Answer 1

Проведите через середину О отрезка CD перпендикуляр к прямым с и d.

Получатся 2 прямоугольных треугольника. В них один угол вертикальный, вторые острые - равны как накрестлежащие, и наклонные СО и ОD  равны по построению.

Треугольники равны, и расстояния от О до прямых с и d оавны, как перпендикуляры от точки до прямой являются расстояниме до нее.

Answer 2

Доказательство равноудаленности середины отрезка CD от параллельных прямых c и d

Для доказательства равноудаленности середины отрезка CD от параллельных прямых c и d, мы можем использовать свойство параллельных прямых, которое гласит, что все перпендикуляры, опущенные из точек одной прямой на другую параллельную прямую, равны между собой.

Пусть M будет серединой отрезка CD. Нам нужно доказать, что расстояние от M до прямой c равно расстоянию от M до прямой d.

Для начала, давайте опустим перпендикуляры из точки M на прямые c и d. Обозначим точку пересечения перпендикуляра, опущенного из M на прямую c, как P, и точку пересечения перпендикуляра, опущенного из M на прямую d, как Q.

Так как прямые c и d параллельны, то перпендикуляры MP и MQ равны между собой. Это следует из свойства параллельных прямых, которое мы упомянули ранее.

Теперь нам нужно доказать, что расстояние от M до прямой c равно расстоянию от M до прямой d. Для этого нам достаточно доказать, что треугольники MDP и MQD равны.

Треугольники MDP и MQD являются прямоугольными треугольниками, так как перпендикуляры MP и MQ опущены из точки M. Также, сторона MD общая для обоих треугольников.

Теперь, чтобы доказать равенство треугольников MDP и MQD, нам достаточно доказать, что сторона DP равна стороне DQ.

Из свойства параллельных прямых следует, что перпендикуляры DP и DQ равны между собой. Таким образом, сторона DP равна стороне DQ.

Таким образом, мы доказали, что треугольники MDP и MQD равны, а значит, расстояние от M до прямой c равно расстоянию от M до прямой d. Следовательно, середина отрезка CD равноудалена от параллельных прямых c и d.