Question

В равнобедренном треугольнике ABC медианы пересекаются в точке O. Найдите расстояние от точки O до вершины A, если AB=BC= 20 см, AC=32 см. Найдите расстояние от точки O до стороны BC.

Answer 1

Обозначим медианы ВН и АМ. 

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. =>

∆ АВН - прямоугольный, АН=СН=32:2=16 см 

По т.Пифагора 

ВН=√(AB²-AH²)=√(400-256)=12

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 :1,  считая от вершины.=> 

ВО=ВН•2/3=8

ОН=ВН:3=4 

Из прямоугольного  ∆ АОН по т.Пифагора 

АО=√(AH*+OH*)=√(256+16)=√272=4√17

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка, проведенного от точки  перпендикулярно к прямой. 

ОК⊥ВС

Прямоугольные ∆ ОКВ и ∆ ВНС имеют общий острый угол при В. => они подобны. 

ОВ:ВС=ОК:НС 

8:20=ОК:16 => 

20•ОК=128

ОК=6,4 (см)

Answer 2

Для начала найдем координаты точки O. Так как O - точка пересечения медиан, то она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если M - середина стороны BC, то O делит AM и BM в отношении 2:1.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то медиана AM также является высотой, опущенной из вершины A. Это значит, что точка O также является вершиной высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A.

Таким образом, расстояние от точки O до вершины A равно 2/3 от высоты треугольника.

Для нахождения высоты треугольника ABC воспользуемся формулой Герона для площади треугольника:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)),

где a, b, c - стороны треугольника, p -