Question

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды образует с диагональю большего основания угол в 45°. Найдите длину диагонали усеченной пирамиды, если стороны ее оснований равны 24 см и 7 см.​

Answer 1

Продлим боковые стороны до полной пирамиды.

Диагональ большего основания AC=AB√2 (диагональ квадрата)

∠SAC=∠SCA=45°, △ASC - равнобедренный прямоугольный

SA=AC/√2 =AB

Боковые грани полной пирамиды - равносторонние треугольники.

Проведем EC1||BB1.

△EC1C подобен △BSC и также равносторонний, EC=CC1

∠ACE=45° (диагональ квадрата является биссектрисой) =∠ACC1

△ACE=△ACC1 (по двум сторонам и углу между ними) => AE=AC1

BE=B1C1 =7 (параллелограмм)

Из △ABE по т Пифагора AE=25

AC1=AE=25 (см)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Давайте разберемся подробнее.

Формула для нахождения длины диагонали усеченной пирамиды

Для нахождения длины диагонали усеченной пирамиды, нам понадобится использовать формулу, которая связывает длину диагонали с размерами бокового ребра и углом, который оно образует с диагональю большего основания.

Решение

Пусть \( a \) - сторона меньшего основания усеченной пирамиды, \( b \) - сторона большего основания, \( l \) - длина бокового ребра, \( d \) - диагональ большего основания, \( \alpha \) - угол между боковым ребром и диагональю большего основания.

Мы знаем, что у нас есть правильная четырехугольная усеченная пирамида, поэтому у нас есть основания, которые являются квадратами.

Для начала найдем длину диагонали большего основания. Для квадрата с стороной \( b \) диагональ равна \( d = b \cdot \sqrt{2} \).

У нас также есть информация о том, что боковое ребро образует угол в 45° с диагональю большего основания, поэтому \( \alpha = 45° \).

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины бокового ребра \( l \). Так как у нас известен угол и гипотенуза, мы можем использовать тангенс угла:

\[ \tan\alpha = \frac{a}{l} \]

Отсюда можно найти длину бокового ребра \( l \):

\[ l = \frac{a}{\tan\alpha} \]

Теперь, когда у нас есть длина бокового ребра \( l \), мы можем использовать ее, чтобы найти длину диагонали усеченной пирамиды:

\[ d_{\text{усеч.}} = \sqrt{l^2 + d^2} \]

Вычисления

Теперь, когда мы знаем все необходимые формулы, подставим известные значения: - \( a = 7 \) см (сторона меньшего основания) - \( b = 24 \) см (сторона большего основания) - \( \alpha = 45^\circ \) - \( d = 24 \cdot \sqrt{2} \) (диагональ большего основания)

Подставляя значения, мы можем найти длину бокового ребра \( l \), а затем по формуле находить длину диагонали усеченной пирамиды \( d_{\text{усеч.}} \).

Позвольте мне провести необходимые вычисления.