Question

Основанием призмы является трапеция. Доказать, что плоскость, проходящая через середины оснований трапеций, разбивает ее на две равновеликие призмы.

Answer 1

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
При разделении плоскостью, проходящей через середины сторон трапеции нужно показать, что линия пересечение плоскости с основанием делит его на две равные по площади фигуры. Это легко: S трап = 0,5 (а + в) h
Линия пересечения проходит через середины оснований, значит, она рассекает основания на две равные части: 0,5а и 0,5а; 0,5в и 0,5в.
фигуры эти - тоже трапеции и площади их равны: S лев = S прав = 0,5 (0,5а + 0,5в) h.
Итак, плошади оснований половинок призмы - одинаковы, а высота  - как была, так и осталась Н. Следовательно, и получившиеся призмы - равновелики., т.е. равны по объёму

Answer 2

Для доказательства того, что плоскость, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие призмы, рассмотрим следующее:

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Плоскость, проходящая через середины оснований трапеции, обозначим как M.

Так как M проходит через середины оснований AB и CD, то она также проходит через середину отрезка AC, обозначим эту точку как O. Таким образом, MO является медианой треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник AOM. Поскольку M является серединой отрезка AB, то по теореме о медиане треугольника, MO равняется половине длины боковой стороны BC.

Аналогично, рассмотрим треугольник DOM. Поскольку M является серединой отрезка CD, то по теореме о медиане треугольника, MO равняется половине длины боковой стороны AD.

Из этого следует, что треугольники AOM и DOM равны их площади равны, а значит, призмы AMBC и DMBC также равновелики.

Таким образом, плоскость, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие призмы.