Question

В треугольнике АВC прямые, параллельные другим сторонам, проведены из точки D которая на стороне ВС, эти прямые пересекают стороны АВ и АС в точках Е и F. Доказать что площадь треугольника СDE равна площади ВDF

Answer 1

По данным

ЕD║АС, DF║АВ

пусть площадь ΔСDЕ = $S$$_{1}$  которая равна $\frac{ED x DCxsin < EDC}{2}$

пусть площадь ΔBDF = $S_{2}$  которая равна $\frac{FDxBDxsin < BDF}{2}$

⇔

$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \frac{EDxDCxsin < EDC}{FDxBDxsin < BDF}$

поскольку  накрест лежащие углы при пересечении стороны АВ с сечениями AC и ED равны

⇔

∠BED = ∠BAC, ∠BDE = ∠BCA

⇔

ΔABC = ΔEBD

и поскольку они равны

$\frac{BC}{BD} = \frac{AC}{ED}$ ⇒ $\frac{ED}{BD} = \frac{AC}{BC}$

ΔABC = ΔFDC

⇔

$\frac{AB}{FD} =\frac{BC}{DC}$ ⇒ $\frac{DC}{FD} = \frac{BC}{AB}$

и так как

$\frac{ED}{BD} = \frac{AC}{BC}$, $\frac{DC}{FD} = \frac{BC}{AB}$

⇒

$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \frac{EDxDCxsin < EDC}{FDxBDxsin < BDF} = \frac{ACxBCxsin < EDC}{ABxBCxsin < BDF} = \frac{ACxsin < EDC}{ABxsinBDF}$

замечаем что четырехугольники AEDC, ABDF трапеции ⇒

∠EDC + ∠ACD = 180°

∠BDF + ∠ABD = 180°

⇔

∠EDC = 180° - ∠ACD = 180° - ∠ACB

∠BDF = 180° - ∠ABD = 180° - ∠ABC

⇔

sin∠EDC = sin ( 180° - ∠ACB ) = sin∠ACB

sin∠BDF = (180° - ∠ABC ) = sin∠ABC

$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \frac{ACx sin < EDC}{ABxsin < BDF} = \frac{ACxsin < ACB}{ABx sin < ABC}$

В треугольнике  АВС по теорему синусов

$\frac{AC}{AB} = \frac{sin < ABC}{sin < ACB}$

⇔

$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \frac{ACxsin < ACB}{ABxsin < ABC} = \frac{sin < ABC}{sin < ACB} x \frac{sin,ACB}{sin < ABC} = 1$

⇔

$S_{1} = S_{2}$

Answer 2

AEDF - параллелограмм, EE1 и FF1 - высоты

S(AEDF) =ED*EE1 =DF*FF1

S(CDE) =1/2 ED*EE1

S(BDF) =1/2 DF*FF1

=> S(CDE) =S(BDF)

Answer 3

Для доказательства того, что площадь треугольника CDE равна площади треугольника BDF, мы можем использовать свойство параллельных прямых, известное как теорема Бецеля.

Теорема Бецеля утверждает, что если две параллельные прямые пересекают две другие прямые, то отрезки, образованные этим пересечением, пропорциональны.

В нашем случае, прямые EF и BC параллельны друг другу и пересекают стороны AB и AC соответственно в точках E и F. Мы можем применить теорему Бецеля к этой ситуации.

Обозначим отрезки AE, EB, AF и FC как a, b, c и d соответственно. Тогда согласно теореме Бецеля, мы можем записать следующие пропорции:

AE/EB = CF/FA a/b = c/d

Теперь рассмотрим треугольники CDE и BDF. Они имеют общую высоту, так как вершины D и E лежат на одной прямой, а вершины F и B лежат на другой параллельной прямой.

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длины основания на высоту. В нашем случае, основание треугольника CDE это отрезок CE, а основание треугольника BDF это отрезок BF.

Таким образом, площадь треугольника CDE равна (CE * h)/2, где h - высота треугольника CDE.

Аналогично, площадь треугольника BDF равна (BF * h)/2, где h - высота треугольника BDF.

Мы знаем, что CE = a + b и BF = c + d, так как отрезки AE и EB, а также AF и FC, пропорциональны.

Теперь мы можем записать площади треугольников CDE и BDF следующим образом:

Площадь треугольника CDE = ((a + b) * h)/2 Площадь треугольника BDF = ((c + d) * h)/2

Так как a/b = c/d, мы можем записать a = (c/b) * d и подставить это выражение в формулу для площади треугольника CDE:

Площадь треугольника CDE = (((c/b) * d + b) * h)/2

Мы можем упростить это выражение, умножив оба числителя и знаменателя на b:

Площадь треугольника CDE = ((c * d + b^2) * h)/(2b)

Теперь мы видим, что числитель в этой формуле равен числителю в формуле для площади треугольника BDF, а знаменатель также соответствует знаменателю в формуле для площади треугольника BDF.

Таким образом, площадь треугольника CDE равна площади треугольника BDF.