Question

Визначте радіус кола, визначеного рівнянням x² + y²+4x-6y-3=0

Answer 1

Определить радиус окружности, определённой уравнением x^2+y^2-4x-6y-3=0.

Ответ:

Радиус окружности равен 4 условных единицы.

Объяснение:

Для начала вспомним общий вид уравнения окружности:

$\Large \boldsymbol {} \text{ \boldsymbol{\sf \star \ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2} \boldsymbol}$

где (x₀;y₀) - координаты центра окружности, r - её радиус.

Мы имеем уравнение окружности. Чтобы найти радиус, нам нужно сделать два полных квадрата в этом уравнении по формулам квадратов разности либо суммы:

$\Large \boldsymbol {} \text{ \boldsymbol{\sf \star \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2} \boldsymbol} \\\\ \text{ \boldsymbol{\sf \star \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2} \boldsymbo}$

Распишем уравнение окружности по этим формулам:

$\Large \boldsymbol {} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\\\\x^2-2xx_0+(x_0)^2+y^2-2yy_0+(y_0)^2=r^2$

В нашей формуле окружности мы имеем x^2 и y^2, а так же 4x и (-6у). Не сложно догадаться, что (-4х) это и есть то самое (-2хх₀), а (-6у) это (-2уу₀). Отсюда находим координаты середины окружности:

$\Large \boldsymbol {} -2yy_0=-6y \Longrightarrow y_0=3\\\\-2xx_0=4x \Longrightarrow x_0=(-2)$

Мы нашли координаты центра нашей окружности - (-2;3).

Теперь нам нужно сделать так, чтобы в нашем уравнении окружности было всё, чтобы сделать там полные квадраты - (х+2)^2 и (y-3)^2.

$\Large \boldsymbol {} x^2+y^2+4x-6y-3=0 \\\\x^2+y^2+4x-6y+4-4+9-9=3\\\\(\underset{a^2}{\underbrace{x^2}}-\underset{2ab}{\underbrace{2*(-2)*x}}+\underset{b^2}{\underbrace{(-2)^2}})+(\underset{a^2}{\underbrace{y^2}}-\underset{2ab}{\underbrace{2*3*y}}+\underset{b^2}{\underbrace{3^2}})-\\\\-4-9-3=0\\\\(x-(-2))^2+(y-3)^2=16\\\\(x+2)^2+(y-3)^2=4^2$

Мы преобразовали наше уравнение окружности. Его центр, как мы уже определили - (-2;3), а радиус - 4.

Answer 2

Радіус кола можна визначити за допомогою рівняння кола, яке має загальний вигляд: (x - a)² + (y - b)² = r², де (a, b) - координати центра кола, а r - радіус кола.

У даному випадку ми маємо рівняння x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0. Щоб перетворити це рівняння в рівняння кола, треба доповнити його до квадратного тричлена, шляхом додавання та віднімання певних коефіцієнтів:

(x² + 4x) + (y² - 6y) = 3 (x² + 4x + 4) + (y² - 6y + 9) = 3 + 4 + 9 (x + 2)² + (y - 3)² = 16

Тепер ми отримали рівняння кола у вигляді (x + 2)² + (y - 3)² = 16. З цього рівняння можна визначити, що центр кола знаходиться в точці (-2, 3), а його радіус дорівнює √16 = 4.

Таким чином, радіус кола, визначеного рівнянням x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0, дорівнює 4.