Question

3. Площі двох подібних трикутників пропорцiйнi числам 9 і 25, а рiзниця ïх периметрів дорівнює 12 см. Знайдіть периметри цих трикутників.​

Answer 1

Відношення площ подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності в квадраті:

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{25}=k^2$, $k=\frac{3}{5}=0,6$

Нехай $x$ - довжина меншого периметра, $x+12$ - більшого

$\frac{x}{x+12}=0,6;\\ x=0,6x+7,2;\\0,4x=7,2 | : 0,4\\x=18$

Значить $18$ см - менший периметр, $18$ см + $12$ см = $30$ см - більший

Answer 2

Давайте позначимо площі двох подібних трикутників як S₁ і S₂, а їхні периметри - як P₁ і P₂. Також маємо дані про пропорційність площ трикутників: S₁/S₂ = 9/25.

Ми знаємо, що площа трикутника пропорційна квадрату його сторін. Тобто, якщо a та b - сторони першого трикутника, а a' та b' - сторони другого трикутника, то маємо співвідношення:

\[ \frac{S₁}{S₂} = \frac{a^2}{a'^2} \]

Отже, маємо:

\[ \frac{a^2}{a'^2} = \frac{9}{25} \]

Звідси отримуємо:

\[ \frac{a}{a'} = \frac{3}{5} \]

Аналогічно, можемо записати для інших сторін трикутників:

\[ \frac{b}{b'} = \frac{3}{5} \]

Тепер маємо іншу інформацію про різницю периметрів:

\[ P₁ - P₂ = 12 \]

Периметр трикутника - це сума його сторін:

\[ P₁ = a + b \] \[ P₂ = a' + b' \]

Тепер можемо використати отримані рівняння для виразу сторін через a і b, та a' і b', і підставити їх у рівняння різниці периметрів:

\[ (a + b) - (a' + b') = 12 \]

Після підстановки і спрощення отримаємо рівняння для знаходження периметрів трикутників.