Question

СРОЧНО ПЖПЖПЖПЖПЖЖ!!!! Знайдіть довжину лінії, заданої рівнянням х2+у2-8х+6у-24=0

Answer 1

Відповідь: фото, розв'язання завдання додаю

Answer 2

Для нахождения длины линии, заданной уравнением \(x^2 + y^2 - 8x + 6y - 24 = 0\), следует выполнить несколько шагов. Сначала уравнение необходимо преобразовать в каноническую форму уравнения окружности, а затем использовать формулу для длины дуги окружности.

1. Преобразование в каноническую форму:

Перепишем уравнение, выделяя полные квадраты:

\[x^2 - 8x + y^2 + 6y = 24\]

Добавим и вычтем константы, чтобы завершить квадратное выражение по \(x\) и \(y\):

\[(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = 24 + 16 + 9\]

Получаем:

\[(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 49\]

2. Найдем радиус окружности:

Сравним полученное уравнение с канонической формой уравнения окружности \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Из сравнения видно, что центр окружности находится в точке \(C(4, -3)\), а её радиус равен \(r = \sqrt{49} = 7\).

3. Длина окружности:

Длина окружности вычисляется по формуле \(L = 2\pi r\). В данном случае, где \(r = 7\), получаем:

\[L = 2\pi \cdot 7 \approx 43.98\]

Таким образом, длина линии, заданной уравнением \(x^2 + y^2 - 8x + 6y - 24 = 0\), составляет примерно 43.98 единицы длины.