Question

Трапеція вписана в коло, центр якого лежить на більшій основі, а радіус дорівнює 6 см. Знайдіть площу трапеції, якщо менша її основа дорівнює 4 см

Answer 1

Ответ:

Площа трапеції дорівнює 32√2 см²

Объяснение:

Трапеція вписана в коло, центр якого лежить на більшій основі, а радіус дорівнює 6 см. Знайдіть площу трапеції, якщо менша її основа дорівнює 4 см.

1) Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, BC=4 см.

Навколо ABCD описане коло з центром у точці O, причому AO=DO=R=6 cм.

AD - діаметр кола, тому  AD=2·R=2*6= 12 см

Оскільки навколо трапеції описане коло, то дана трапеція рівнобока:  АВ=СD

2) З вершин B і C до основи AD проведемо висоти трапеції BH і CK, відповідно: BH⊥AD і CK⊥AD (очевидно, що BH=CK)

Оскільки BСKН - прямокутник, то НК=BС=4 (см)

3) Розглянемо прямокутні трикутники ABH і DСК.

У них:

• ∠BAH=∠CDК – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю),

• AB = CD – як бічні сторони рівнобічній  трапеції .

Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і DСК рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), і, отже:

AH=KD=(12-4)/2= 4 см.

4) Розглянемо Δ AСD.  

AD - діаметр кола. Діаметр кола з будь-якої точки кола видно під прямим кутом, тому тому ∠АCD=90,

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

СК²=АК·КD=(АН+НК) · КD=(4+4) ·4= 4·2·4

СК=4√2 см

5) Знайдемо площу трапеції:

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot CK =\dfrac{4+12}{2} \cdot 4\sqrt{2} =\bf 32\sqrt{2}$  (см²)

Відповідь: 32√2 см²

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти площу трапеції, вам слід використовувати наступну формулу:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

де: - \( a \) та \( b \) - довжини основ трапеції, - \( h \) - висота трапеції (відстань між основами).

У вашому випадку: - \( a \) (більша основа) дорівнює 6 см, - \( b \) (менша основа) дорівнює 4 см.

Висоту трапеції (\( h \)) слід знайти за допомогою теореми Піфагора у прямокутному трикутнику, утвореному радіусом кола, висотою трапеції та відрізком від центру кола до меншої основи трапеції. Застосовуючи теорему Піфагора, отримаємо:

\[ h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = r^2, \]

де: - \( r \) - радіус кола (ваш випадок, \( r = 6 \) см).

Підставимо відомі значення і розв'яжемо для \( h \):

\[ h^2 + \left(\frac{4-6}{2}\right)^2 = 6^2, \]

\[ h^2 + (-1)^2 = 36, \]

\[ h^2 + 1 = 36, \]

\[ h^2 = 35. \]

Отже, \( h = \sqrt{35} \) см.

Тепер можемо підставити значення \( a \), \( b \) і \( h \) у формулу для площі трапеції:

\[ S = \frac{(6 + 4) \cdot \sqrt{35}}{2}. \]

Обчислімо це:

\[ S = \frac{10 \cdot \sqrt{35}}{2}, \]

\[ S = 5 \cdot \sqrt{35} \, \text{см}^2. \]

Отже, площа вписаної трапеції дорівнює \( 5 \cdot \sqrt{35} \, \text{см}^2 \).