Question

Знайдіть кут між стороною АВ і медіаною ВВ1 трикутника АВС, якщо А(3; 5; 0), В(0; – 6; 0), С(3; 1; 0).

Answer 1

Медіана ВВ1 ділить сторону АВ навпіл і має напрямок на середину С, тому ми можемо знайти точку B1(1.5, -2.5, 0), яка є серединою відрізка AV1, де V1 - точка перетину медіани ВВ1 зі стороною СВ.

Точка V1 має координати:
V1 = (1/2) * (B + B1) = (1/2) * (0, -6, 0) + (1/2) * (3, 2, 0) = (3/2, -2, 0)

Тепер можемо знайти вектори AB, BV1 та їхнє скалярний добуток:

AB = B - A = (0, -6, 0) - (3, 5, 0) = (-3, -11, 0)
BV1 = V1 - B = (3/2, -2, 0) - (0, -6, 0) = (3/2, 4, 0)

AB · BV1 = (-3, -11, 0) · (3/2, 4, 0) = (-9/2) - 44 = -53/2

Так як медіана ВВ1 ділить сторону АВ навпіл, то кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 дорівнює куту між векторами AB та BV1, тому використаємо формулу для скалярного добутку векторів:

cos(θ) = (AB · BV1) / (|AB| * |BV1|)
|AB| = sqrt((-3)^2 + (-11)^2) = sqrt(130)
|BV1| = sqrt((3/2)^2 + 4^2) = sqrt(25/4)

cos(θ) = (-53/2) / (sqrt(130) * sqrt(25/4)) = -53 / (2 * sqrt(130))

Отже, кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 дорівнює arccos(-53 / (2 * sqrt(130))), або близько 166.8 градусів.

Answer 2

Для знаходження кута між стороною АВ та медіаною ВВ1 трикутника АВС, спочатку нам потрібно знайти координати точки В1, яка є серединою сторони АС. Потім ми можемо використати формулу для знаходження косинуса кута між двома векторами.

Знаходження координат точки В1:

Точка В1 є серединою сторони АС. Для знаходження координат точки В1, ми можемо використати середнє арифметичне координат точок А і С. Координати точки А: (3, 5, 0) Координати точки С: (3, 1, 0)

Застосовуючи формулу середнього арифметичного, отримуємо: x-координата точки В1 = (x-координата точки А + x-координата точки С) / 2 = (3 + 3) / 2 = 3 y-координата точки В1 = (y-координата точки А + y-координата точки С) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3 z-координата точки В1 = (z-координата точки А + z-координата точки С) / 2 = (0 + 0) / 2 = 0

Таким чином, координати точки В1: (3, 3, 0).

Знаходження векторів АВ та ВВ1:

Вектор АВ можна отримати, віднімаючи координати точки А від координат точки В: Вектор АВ = (x-координата точки В - x-координата точки А, y-координата точки В - y-координата точки А, z-координата точки В - z-координата точки А) = (0 - 3, -6 - 5, 0 - 0) = (-3, -11, 0).

Вектор ВВ1 можна отримати, віднімаючи координати точки В від координат точки В1: Вектор ВВ1 = (x-координата точки В1 - x-координата точки В, y-координата точки В1 - y-координата точки В, z-координата точки В1 - z-координата точки В) = (3 - 0, 3 - (-6), 0 - 0) = (3, 9, 0).

Знаходження косинуса кута між векторами АВ та ВВ1:

Косинус кута між двома векторами можна знайти за допомогою формули: cos(θ) = (Вектор АВ • Вектор ВВ1) / (|Вектор АВ| * |Вектор ВВ1|),

де • позначає скалярний добуток, а | | позначає довжину вектора.

Для знаходження скалярного добутку векторів АВ та ВВ1, ми множимо відповідні координати векторів і додаємо їх: Скалярний добуток = (-3 * 3) + (-11 * 9) + (0 * 0) = -9 - 99 + 0 = -108.

Для знаходження довжини вектора АВ, ми можемо використати формулу: |Вектор АВ| = √(x^2 + y^2 + z^2),

де x, y, z - координати вектора АВ.

Для знаходження довжини вектора ВВ1, ми також можемо використати формулу: |Вектор ВВ1| = √(x^2 + y^2 + z^2),

де x, y, z - координати вектора ВВ1.

Підставляючи значення в формулу, отримуємо: |Вектор АВ| = √((-3)^2 + (-11)^2 + 0^2) = √(9 + 121 + 0) = √130, |Вектор ВВ1| = √(3^2 + 9^2 + 0^2) = √(9 + 81 + 0) = √90.

Тепер ми можемо обчислити косинус кута між векторами: cos(θ) = (-108) / (√130 * √90) ≈ -0.894.

Знаходження кута між стороною АВ та медіаною ВВ1:

Щоб знайти кут між стороною АВ та медіаною ВВ1, ми можемо використати обернений косинус (арккосинус) косинуса, який ми обчислили: θ = arccos(-0.894).

Отримуємо: θ ≈ 2.667 радіан або приблизно 153.02 градусів.

Таким чином, кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 трикутника АВС становить приблизно 2.667 радіан або 153.02 градусів.