Question

ВАРИАНТ №32 1) Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза и второй катет равны 10см и 8см. 2) в прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7см и 25см, а меньшее основание равно 2см. Найдите площадь трапеции. 3) Докажите, что треугольник со сторонами 9cm, 40cm и 41см является прямоугольным. 4) Основание равнобедренного треугольника равно 8см, а высота, опущенная на основание, — 3см. Найдите периметр треугольника.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза и второй катет равны 10см и 8см.

Решение.

АВС - треугольник.  Катет  а=8 см.  Гипотенуза с=10 см.  

По т. Пифагора катет  b=√(c²-b²) = √(10²-8²) = √(100-64) = √36=6 см.

************

2) в прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7см и 25см, а меньшее основание равно 2см. Найдите площадь трапеции.

Решение

ABCD - трапеция.  Проведем высоту CH⊥AD.

Получили треугольник CDH, у которого

СD=25 см   - гипотенуза.  CH = AB = 7 см.

По т. Пифагора

DH =√ (CD²-CH²) = √(25²-7²) = √(625-49) =√576=24 см.

Тогда AD = AH+DH=2+24=26 см.

Площадь S(ABCD) = CH*(DH+BC)/2 = 7(26+2)/2 = 7*28/2=7*14=98 см².  

************

3) Докажите, что треугольник со сторонами 9cm, 40cm и 41см является прямоугольным.

Доказательство.

Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если в треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

41²=40²+9².

1681=1600+81.

1681=1681!!!

Что и требовалось доказать.

***************

4) Основание равнобедренного треугольника равно 8см, а высота, опущенная на основание, — 3см. Найдите периметр треугольника.​

Решение.

ABC - треугольник.

BH - высота и медиана.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.

Следовательно, AH=CH=8/2=4 см.

По т. Пифагора боковая сторона, являющаяся гипотенузой треугольников ABH  и  BCH,

AB=BC=√(4²+3²) = √(16+9) = √25 = 5 см.

Периметр P(ABC) = 2*AB+AC = 2*5+8 = 10+8 = 18 см.  

Answer 2

1) Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза и второй катет равны 10 см и 8 см:

Решение:

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Используя этот факт, мы можем найти катет:

Гипотенуза^2 = Первый катет^2 + Второй катет^2

10^2 = Первый катет^2 + 8^2

100 = Первый катет^2 + 64

Первый катет^2 = 100 - 64

Первый катет^2 = 36

Первый катет = √36

Первый катет = 6 см

Таким образом, первый катет прямоугольного треугольника равен 6 см.

2) В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7 см и 25 см, а меньшее основание равно 2 см. Найдите площадь трапеции:

Решение:

Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

Площадь = (Сумма оснований * Высота) / 2

В данном случае, сумма оснований равна 7 см + 2 см = 9 см.

Также нам нужно найти высоту трапеции. Можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты:

Высота^2 = Гипотенуза^2 - (Половина разности оснований)^2

Высота^2 = 25^2 - ( (7 - 2) / 2 )^2

Высота^2 = 625 - (5 / 2)^2

Высота^2 = 625 - (5 / 2)^2

Высота^2 = 625 - (5 / 2)^2

Высота^2 = 625 - 25 / 4

Высота^2 = 625 - 6.25

Высота^2 = 618.75

Высота = √618.75

Высота ≈ 24.85 см

Теперь мы можем найти площадь:

Площадь = (9 см * 24.85 см) / 2

Площадь ≈ 111.83 см^2

Таким образом, площадь трапеции составляет примерно 111.83 см^2.

3) Докажите, что треугольник со сторонами 9 см, 40 см и 41 см является прямоугольным:

Решение:

Для доказательства, что треугольник является прямоугольным, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Возведем все стороны треугольника в квадрат:

9^2 = 81 40^2 = 1600 41^2 = 1681

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

81 + 1600 = 1681

Таким образом, сумма квадратов катетов (81 + 1600) равна квадрату гипотенузы (1681). Это означает, что треугольник со сторонами 9 см, 40 см и 41 см является прямоугольным.

4) Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а высота, опущенная на основание, равна 3 см. Найдите периметр треугольника:

Решение:

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, а основание является третьей стороной. Высота, опущенная на основание, является перпендикуляром к основанию и делит его на две равные части.

Таким образом, мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, чтобы найти длину других двух сторон. Поскольку основание равно 8 см, а высота делит его на две равные части, то каждая из равных сторон равна 8 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника:

Периметр = Основание + 2 * Равные стороны

Периметр = 8 см + 2 * 8 см

Периметр = 8 см + 16 см

Периметр = 24 см

Таким образом, периметр треугольника равен 24 см.