Question

3. У прямокутному трикутнику ABC (ZC=90°) проведено бісектрису АК. Відомо, що СК = 5 см і АК = 10 см. Знайдіть довжину катета ВС. даю сто балов ​

Answer 1

В прямоугольном треугольнике АВС, ∠С=90°, проведена биссектриса АК. Известно , что СК=5 см,АК=10 см. Найти длину катета ВС.

Решение.

В ΔАСК- прямоугольном, гипотенуза АК в 2 раза больше катета СК ⇒ по признаку прямоугольного треугольника с углом 30 градусов имеем , что ∠САК=30.

Тк АК –биссектриса , то ∠САВ=60° ⇒ в ΔАВС угол ∠В =30°.

В ΔАВК угол ∠В =30°=∠ВАК ⇒ ΔАВК равнобедренный АК=КВ=10 см.

СВ=СА+КВ=5+10=15 ( см)

Answer 2

У прямокутному треугольнике ABC с углом C = 90° проведена биссектриса АК. Известно, что СК = 5 см и АК = 10 см. Нам нужно найти длину катета ВС.

По определению биссектрисы, она делит угол C пополам и делит сторону AB пропорционально катетам AC и BC. Таким образом, можно записать следующее соотношение:

AC / BC = AK / BK

Подставим известные значения:

10 / BC = 5 / BK

Теперь найдем отношение BC / BK:

BC / BK = 10 / 5 = 2

Теперь у нас есть соотношение между сторонами треугольника BCK. Заметим, что это соотношение также является теоремой Пифагора для этого треугольника:

BC^2 = BK^2 + CK^2

Теперь подставим известные значения и найдем длину катета ВС:

BC^2 = (2BK)^2 + 5^2 BC^2 = 4BK^2 + 25

Так как треугольник ABC прямоугольный, то BC - это гипотенуза. Зная это, мы можем записать теорему Пифагора для всего треугольника:

AC^2 = BC^2 + AB^2

Подставим известные значения:

10^2 = BC^2 + AB^2 100 = BC^2 + AB^2

Теперь мы можем выразить AB^2 через BC^2:

AB^2 = 100 - BC^2

Заметим, что AB^2 также равно 4BK^2:

AB^2 = 4BK^2

Теперь мы можем приравнять два выражения для AB^2 и найти BC:

4BK^2 = 100 - BC^2

BC^2 + BK^2 = 100 / 4 BC^2 + BK^2 = 25

Так как BC / BK = 2, то BC = 2BK. Подставим это в предыдущее уравнение:

(2BK)^2 + BK^2 = 25 4BK^2 + BK^2 = 25 5BK^2 = 25 BK^2 = 5 BK = √5

Теперь, зная длину BK, мы можем найти BC:

BC = 2BK = 2√5

Таким образом, длина катета ВС равна 2√5 см.