Question

7. (2 бали) Вiдрiзки BD i AC перетинаються в точці О, причому ВО = ОС, AO = OD. Доведіть, що: а) трикутники АОВ i DOC рiвнi; б) AB = DC.​

Answer 1

Ответ:

Для доведення цих тверджень використаємо властивості паралельних прямих та взаємні кутові градуси.

а) Оскільки ВО = ОС та AO = OD, то трикутники АВО та СОD є подібними за теоремою про дві паралельні прямі. Оскільки кут АОВ дорівнює куту DOC (оскільки вони взаємно доповнюють кут в 180 градусів, що випливає з того, що ВО || СD та АО || OD), то ці трикутники мають однакові кути, а тому за теоремою про три кути однакового розміру вони рівні.

б) Розглянемо трикутник АВО. Оскільки кут АОВ дорівнює куту DOC (як ми довели у попередньому пункті), то ці трикутники є подібними. Звідси маємо співвідношення між сторонами:

AB/OV = AO/OD

Оскільки ВО = ОС та AO = OD, то маємо:

AB/ОС = AO/AO

Звідси AB = ОС, що і треба було довести.

Answer 2

Для доведення рівності трикутників та рівності сторін \(AB = DC\) спочатку розглянемо умову, що задає рівність сторін та перетин відрізків в точці \(O\).

У нас дано, що \(BD\) і \(AC\) перетинаються в точці \(O\) так, що \(BO = OC\) і \(AO = OD\). З цими умовами потрібно довести дві рівності:

а) Трикутники \(AOV\) і \(DOC\) рівні.

б) \(AB = DC\).

Давайте розглянемо це крок за кроком:

а) Трикутники \(AOV\) і \(DOC\) рівні:

Ми маємо рівність сторін \(AO = OD\) і \(BO = OC\) (задані умовою). Також, знаючи, що \(BO = OC\), можемо сказати, що \(\angle AOB = \angle DOC\) (оскільки вони опираються на однакові дуги). Отже, за стороною-кут-стороною (СКС) трикутники \(AOV\) і \(DOC\) рівні.

б) \(AB = DC\):

Розглянемо трикутники \(AOB\) і \(COD\). Знаємо, що \(AO = OD\) (задано) і \(\angle AOB = \angle COD\) (оскільки вони опираються на однакові дуги). Отже, за СКС трикутники \(AOB\) і \(COD\) рівні. Це означає, що відповідні сторони також рівні: \(AB = DC\).

Таким чином, ми довели обидві частини завдання: рівність трикутників \(AOV\) і \(DOC\), а також рівність сторін \(AB\) і \(DC\).