Question

При якому значенні k вектори (1; k; 3) і (- 3; 6; - 9) варианты ответов: - 5; - 2; 2; 4 ; 5.1. колінеарні2. перпендикулярні(выбрать один правильный ответ к каждому)

Answer 1

Ответ:  1)  k= -2 ,  2) k=5 .    

    $\bf \overline{a}=(1;k;3)\ \ ,\ \ \overline{b}=(-3;6;-9)$

Коллинеарность векторов :  $\bf \overline{a}\parallel \overline{b}\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \dfrac{x_{a}}{x_{b}}=\dfrac{y_{a}}{y_{b}}=\dfrac{z_{a}}{z_{b}}$   .

$\bf \dfrac{1}{-3} =\dfrac{k}{6}=\dfrac{3}{-9}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ k=\dfrac{1\cdot 6}{-3}=-2$  

Перпендикулярность векторов :  

$\bf \overline{a}\perp \overline{b}\ \ \Leftrightarrow \ \ \overline{a}\cdot \overline{b}=0\ \ ,\ \ x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}=0$  

$\bf \overline{a}\cdot \overline{b}=-1\cdot 3+6k-3\cdot 9=0\ \ \Rightarrow \ \ 6k-30=0\ \ ,\ \ k=5$

Answer 2

Вектори (1; k; 3) і (-3; 6; -9) будуть колінеарними, якщо вони паралельні один одному, тобто, якщо один можна отримати шляхом масштабування другого. Щоб перевірити, чи є ці вектори колінеарними, ми можемо порівняти їхні компоненти.

Масштабування вектора

Щоб масштабувати вектор, ми помножимо кожну його компоненту на одну і ту саму константу. У нашому випадку, ми можемо помножити вектор (1; k; 3) на -3, щоб отримати вектор (-3; -3k; -9). Якщо цей вектор дорівнює вектору (-3; 6; -9), то вектори будуть колінеарними.

Порівняння компонент

Порівнюючи компоненти векторів, ми отримуємо наступні рівняння:

-3 = -3 -3k = 6 -9 = -9

Перше рівняння виконується завжди, тому воно не вносить жодної інформації про колінеарність векторів.

Друге рівняння -3k = 6 можна розв'язати, діленням обох сторін на -3:

k = -2

Третє рівняння -9 = -9 також виконується завжди.

Висновок

Отже, вектори (1; k; 3) і (-3; 6; -9) будуть колінеарними при значенні k = -2. Тобто, варіант відповіді "k = -2" є правильним.