Question

Хорда кола перетинає його діаметр під кутом 30°. Відстані від кінців хорди до прямої, що містить діаметр кола, дорівнюють 5 см і 7 см. Знайдіть довжину хорди.​

Answer 1

Решение на фото ниже.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми можемо скористатися основним властивостям кола, що говорить про те, що хорда, яка перетинає діаметр під кутом 90°, розділяє діаметр на дві рівні частини. Однак, в даному випадку ми маємо хорду, яка перетинає діаметр під кутом 30°, тому ми повинні використати тригонометрію для знаходження довжини хорди.

Давайте позначимо довжину хорди як "х". За умовою, ми знаємо, що відстані від кінців хорди до прямої, що містить діаметр кола, дорівнюють 5 см і 7 см.

Для початку, давайте побудуємо коло та намалюємо дану хорду та пряму, що містить діаметр кола:

             O
          /    |    \
      /         |         \
    /            |            \
   /             |             \
 /                |                \
A ----------------- B ------------------ C

У цьому малюнку, O - центр кола, AB - хорда, AC і BC - відстані від кінців хорди до прямої, що містить діаметр кола.

Ми можемо побачити, що трикутник ABC є рівнобедреним трикутником, оскільки відстані від кінців хорди до прямої, що містить діаметр кола, однакові. Також, ми знаємо, що кут BAC дорівнює 30°. З цих відомостей ми можемо використовувати тригонометрію для знаходження довжини хорди.

Давайте використаємо теорему синусів для трикутника ABC:

sin(A) / AC = sin(B) / AB

Ми знаємо, що A = 30° і B = 75° (так як ABC - рівнобедрений трикутник). Також, ми знаємо, що sin(30°) = 0.5 та sin(75°) = √3 / 2. Підставляючи ці значення, отримаємо:

0.5 / AC = (√3 / 2) / AB

Тепер давайте підставимо відомі значення виразу для відстаней від кінців хорди до прямої:

0.5 / 5 = (√3 / 2) / х

Таким чином, ми отримали рівняння:

0.1 = (√3 / 2) / х

Тепер давайте розв'яжемо це рівняння для х:

х = (√3 / 2) / 0.1

х = (√3 / 2) * 10

х = (√3 / 2) * 10 * (2 / 2)

х = √3 * 5

Отже, довжина хорди дорівнює 5√3 см.