Question

Нехай AD — a) внутрішня b) зовнішня бісектриса нерівнобедреного трикутника ABC. Доведіть, що BD / DC=AB / AC.

Answer 1

Ответ:

Для доведення рівності BD/DC = AB/AC використаємо теорему про бісектрису в трикутнику.

a) Внутрішня бісектриса:

За теоремою про внутрішню бісектрису, ми знаємо, що точка дотику бісектриси зі стороною AB ділить її пропорційно до довжини інших двох сторін, тобто:

BD/DC = AB/AC.

b) Зовнішня бісектриса:

За теоремою про зовнішню бісектрису, ми знаємо, що точка дотику бісектриси зі стороною AB продовжує її за межі трикутника, і вона ділить продовжену сторону пропорційно до довжини інших двох сторін, тобто:

BD/DC = AB/AC.

Незалежно від того, чи є AD внутрішньою або зовнішньою бісектрисою, ми маємо BD/DC = AB/AC.

Answer 2

Я відповім на ваше питання детально. Нехай AD - a) внутрішня b) зовнішня бісектриса нерівнобедреного трикутника ABC. Доведіть, що BD / DC = AB / AC.

a) Якщо AD - внутрішня бісектриса, то за властивістю бісектриси кута, вона ділить протилежну сторону BC на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам AB і AC. Тобто, BD / DC = AB / AC. Це і є те, що потрібно було довести. Дивіться рисунок [тут](https://yukhym.com/uk/geometriya/bisektrysa-kuta-trykutnyka.html).

b) Якщо AD - зовнішня бісектриса, то за властивістю зовнішньої бісектриси кута, вона ділить продовження протилежної сторони BC на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам AB і AC. Тобто, BD / DC = -AB / AC. Це означає, що BD / DC = AB / AC тоді і тільки тоді, коли AB = 0, тобто коли точка A збігається з точкою B. Але це суперечить умові, що трикутник нерівнобедрений. Отже, випадок зовнішньої бісектриси не можливий. Дивіться рисунок [тут](https://yukhym.com/uk/geometriya/zadachi-na-kuty-trykutnyka-z-rozv-iazkamy.html).

Сподіваюся, що моя відповідь була корисною для вас.