Question

У рівнобедренний трикутник ABC (AB = BC) вписали коло. Точки дотику кола зі сторонами AB, BC, AC-M, N, K .відповідно. BN = 7cM , KC = 4cM .Знайти периметр трикутника ABC.

Answer 1

Ответ:

Позначимо радіус вписаного кола через r. Тоді маємо:

AM = CM = BM = BC / 2 = AB / 2

Також з піраміди БПНМ отримуємо:

BN² = BM·BP

звідки

BP = BN² / BM = (7cM)² / (AB / 2) = 98c²M / AB

Аналогічно, з піраміди АКМН маємо:

CK² = CM·CK

звідки

CK = √(CM·CK) = √(4cM·AB / 2) = 2√2c√(ABM)

Отже, периметр трикутника ABC дорівнює:

AB + BC + AC = AB + 2BM = AB + 2√(BN·BP) = AB + 2√(7cM·98c²M / AB) = AB + 14c√(AB/c)

де останній крок випливає з використання того, що BN = 7cM. Аналогічно, маємо

AC = 2√(CK·CM) = 2√2c√(ABM) і BC = AB, тому периметр можна записати як

AB + 2√(7cM·98c²M / AB) + 2√2c√(ABM)

Ми отримали вираз для периметра трикутника ABC через його сторони AB і c, тому потрібно знайти значення AB і c. Для цього використаємо рівняння БПН:

AB² = AM² + BM² = AM² + BC² / 4 = AM² + AB² / 4

звідки

AB² / 4 = AM²

і

AB = 2AM = BC

Отже, сторони трикутника ABC мають довжини BC = AB і AC = 2√2c√(ABM). З рівняння БПН маємо:

BM = √(AB² - AM²) = √(AB² - BC² / 4) = √(3AB² / 4)

Також маємо BN = 7cM і BP = 98c²M / AB. Підставляючи ці значення до виразу для периметра, отримуємо:

AB + 2√(7cM·98c²M / AB) + 2√2c√(ABM) = AB + 2√(7c·98c² / 4) + 2√2c√(3AB² / 4) = AB + 14c√(AB / 4) + 2√6c√(AB³ / 4)

= AB + 7c√AB

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся два факта о вписанном треугольнике:

1. Точки касания круга с сторонами треугольника делят эти стороны на отрезки, пропорциональные длинам других двух сторон. В данном случае, отношение длины отрезка BN к длине отрезка NA будет равно отношению длин сторон BC к AC. То есть, BN/NA = BC/AC.

2. Сумма длин двух отрезков, проведенных из вершины треугольника к точкам касания, равна длине третьей стороны треугольника. В данном случае, BN + KC = BC.

Используя эти факты, мы можем составить систему уравнений и решить ее для нахождения длин сторон треугольника ABC.

Пусть x - длина стороны AB и y - длина стороны BC. Тогда:

BN/NA = BC/AC 7/x = y/(x+y)

BN + KC = BC 7 + 4 = y

Решаем систему уравнений:

7/x = y/(x+y) 7(x+y) = xy 7x + 7y = xy

7 + 4 = y 11 = y

Подставляем значение y в уравнение:

7x + 7(11) = x(11) 7x + 77 = 11x 77 = 4x x = 19.25

Теперь, зная длины сторон AB и BC, мы можем найти длину стороны AC:

AC = AB + BC AC = 19.25 + 11 AC = 30.25

Таким образом, периметр треугольника ABC равен:

AB + BC + AC = 19.25 + 11 + 30.25 = 60.5 см