Question

коло з центром О вписане в трикутник ABC, дотикається до сторони AB трикутника в точці M кут MBO дорівнює 21°. знайти кут ABC. помогите пожалуйста :((

Answer 1

Ответ: Нехай коло з центром O торкається сторони AC у точці N і сторони BC у точці P, а кут ABC позначимо x.

Оскільки коло вписано в трикутник ABC, ми знаємо, що всі OM, ON і OP є радіусами кола, а тому мають однакову довжину. Позначимо цю спільну довжину через r.

Оскільки OM перпендикуляр до AB, ми знаємо, що кут OMB є прямим. Отже, маємо кут MOB = 90 - кут MBO = 90 - 21 = 69 градусів.

Так само, оскільки ON перпендикулярний до AC, ми маємо кут NOC = 90 градусів. Отже, кут BOC = кут MOB + кут NOC = 69 + 90 = 159 градусів.

Оскільки OP також є радіусом кола, ми маємо OP = r. Нехай Q — точка на прямій BC така, що PQ перпендикулярна до BC. Тоді кут OPQ = 90 градусів, а трикутник OPQ — прямокутний.

Використовуючи тригонометрію, ми можемо знайти PQ через r і x. Ми маємо:

tan(x/2) = PQ/OP = PQ/r

Отже, PQ = r*tan(x/2).

Оскільки трикутник MPQ є прямокутним трикутником, ми можемо скористатися теоремою Піфагора, щоб знайти MQ через r і x:

MQ^2 = MP^2 + PQ^2 = (AB/2)^2 + (r*tan(x/2))^2

Тепер ми можемо використати той факт, що коло вписано в трикутник ABC, щоб написати рівняння:

AM + MB + AC = AB + MC + AC

Спрощуючи це рівняння, використовуючи той факт, що AM = MC, ми отримуємо:

MB = (AB - AC + 2*MC)/2

Підставляючи значення MC з рівняння вище, ми отримуємо:

MB = (AB - AC + 2*(sqrt(MQ^2 - MP^2)))/2

Підставляючи вище вирази для MP і MQ і спрощуючи, отримуємо:

MB = (AB - AC + 2sqrt((AB/2)^2 - r^2tan^2(x/2)))/2

Тепер ми можемо використати той факт, що MB є дотичною до кола в точці M, щоб написати рівняння:

кут MBN = кут MOB + кут BOC/2 = 69 + 159/2 = 198 градусів

Використовуючи той факт, що кут MBN і кут ABC є додатковими, можна записати рівняння:

кут ABC = 180 - кут MBN = 180 - 198 = 18 градусів

Отже, кут АВС дорівнює 18 градусів.

Answer 2

Задача говорит о вписанном в треугольник ABC круге, который касается стороны AB в точке M, и угол MBO равен 21°.

Давайте обозначим:

- \(O\) - центр вписанной окружности, - \(M\) - точка касания окружности со стороной \(AB\), - \(B\) - вершина треугольника \(ABC\), - \(C\) - другая вершина треугольника \(ABC\).

Также вспомним свойство касательной и радиуса, проведенного к точке касания. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, у нас получается, что угол \(MBO\) равен углу \(MBC\), и равен половине угла \(BOC\), так как угол, заключенный между хордой и касательной, равен половине угла, заключенного между хордой и радиусом.

Итак, у нас есть:

\[ \angle MBO = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle BOC \]

Теперь, учитывая, что углы внутри треугольника суммируются до 180°, мы можем записать:

\[ \angle BOC + \angle BAC + \angle ABC = 180° \]

Так как \(\angle MBO = \frac{1}{2} \angle BOC\), заменим \(\angle BOC\) на \(2 \angle MBO\) в уравнении:

\[ 2 \angle MBO + \angle BAC + \angle ABC = 180° \]

Теперь мы знаем, что \(\angle MBO = 21°\), подставим это значение:

\[ 2 \times 21° + \angle BAC + \angle ABC = 180° \]

\[ 42° + \angle BAC + \angle ABC = 180° \]

\[ \angle BAC + \angle ABC = 180° - 42° \]

\[ \angle BAC + \angle ABC = 138° \]

Таким образом, сумма углов \(\angle BAC\) и \(\angle ABC\) равна \(138°\).