Question

Серединний перпендикуляр сторони АС трикутника АВС перетинає сторону ВС у точці D. Знайдіть периметр трикутника АВD, якщо периметр трикутника АВС дорівнює 27 см і Ас = 8 см.

Answer 1

Для знаходження периметра трикутника АВД нам потрібно знати довжину сторони АВ та АД.

Оскільки серединний перпендикуляр сторони АС перетинає сторону ВС у точці D, то сторона ВС розбивається на дві рівні ділянки. Отже, довжина сторони ВD дорівнює половині довжини сторони ВС, тобто BD = CD = (1/2) ВС.

З огляду на те, що периметр трикутника АВС дорівнює 27 см, ми можемо скласти рівняння:

AB + BC + AC = 27.

Маємо дано, що AC = 8 см, тому підставляємо це значення:

AB + BC + 8 = 27.

Замінюємо ВС на BD + CD:

AB + BD + CD + 8 = 27.

Оскільки BD = CD = (1/2) ВС, то замінюємо ці значення:

AB + (1/2) ВС + (1/2) ВС + 8 = 27.

AB + ВС + 8 = 27.

AB + ВС = 27 - 8.

AB + ВС = 19.

Ми маємо вираз AB + ВС, який рівний довжині сторони АВ трикутника АВС. Таким чином, периметр трикутника АВД дорівнює 19 см.

Answer 2

Давайте позначимо точку перетину серединного перпендикуляра до сторони \( AC \) з точкою \( D \). Також, оскільки \( D \) - середина сторони \( AC \), ми можемо ввести нову точку \( E \) на стороні \( AB \) так, що \( AE = EC \).

Таким чином, ми отримаємо два нових трикутники: \( ABD \) та \( CDE \).

Враховуючи властивості серединного перпендикуляра та трикутника, можна зазначити, що трикутники \( ABD \) і \( CDE \) є подібними.

Тепер давайте позначимо довжини сторін та периметрів:

\( AC = 2 \times AD \) (оскільки \( D \) - середина \( AC \))

\( AE = EC \) (за умовою)

Тепер, периметр трикутника \( ABC \) дорівнює \( 27 \) см, тобто:

\[ AB + BC + AC = 27 \]

Але ми можемо виразити \( AC \) через \( AD \), \( AE \) і \( EC \):

\[ AB + BC + 2 \times AD + AE + EC = 27 \]

Оскільки \( AE = EC \), ми можемо замінити це у рівнянні:

\[ AB + BC + 2 \times AD + 2 \times AE = 27 \]

Тепер ми знаємо, що трикутники \( ABD \) і \( CDE \) подібні, тому відношення довжин їх сторін однакове:

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{CD}{CE} \]

Також, оскільки \( AE = EC \):

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{CD}{AE} \]

Ми можемо замінити \( AE \) через \( AD \):

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{CD}{2 \times AD} \]

Розв'язавши це рівняння відносно \( CD \), ми отримаємо \( CD \).

Тепер, периметр трикутника \( ABD \) дорівнює:

\[ AB + BD + AD \]

Знаючи всі необхідні довжини, ви можете обчислити периметр трикутника \( ABD \).