Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛОВ В окружность вписан квадрат со стороной 5√2 см. Найдите площадь правильного треугольника, описанного около этой окружностиОЧЕНЬ СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛОВ​

Answer 1

Ответ:

Чтобы найти площадь правильного треугольника, описанного около вписанной окружности, нам понадобится использовать свойство, что центр окружности описанного треугольника является серединой гипотенузы этого треугольника.

По условию, сторона квадрата, вписанного в окружность, равна 5√2 см. Радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на √2:

Диагональ = 5√2 * √2 = 5 * 2 = 10 см.

Радиус окружности равен половине диагонали:

Радиус = 10 / 2 = 5 см.

Так как центр окружности является серединой гипотенузы правильного треугольника, то высота треугольника равна радиусу окружности, то есть 5 см.

Площадь правильного треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (основание * высота) / 2.

Основание треугольника равно длине стороны квадрата, вписанного в окружность:

Основание = 5√2 см.

Подставим значения в формулу:

Площадь = (5√2 * 5) / 2

= (25√2) / 2

= 12.5√2 см².

Таким образом, площадь правильного треугольника, описанного около вписанной окружности, равна 12.5√2 квадратных сантиметров

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрических фигур, вписанных в окружность.

1. Квадрат вписан в окружность: Диагональ квадрата равна диаметру окружности.

Диагональ квадрата \( d \) выражается через сторону квадрата \( a \) следующим образом: \[ d = a \cdot \sqrt{2} \]

В данном случае, если сторона квадрата \( a = 5\sqrt{2} \) см, то диагональ: \[ d = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \, \text{см} \]

2. Правильный треугольник, описанный вокруг окружности: Если вписанный в окружность треугольник равносторонний, то он является равнобедренным, и его высота, проведенная из вершины угла до центра окружности, является медианой, биссектрисой и высотой.

Половина основания треугольника равна радиусу окружности. Радиус окружности \( r \) равен половине диагонали вписанного квадрата: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} \]

Также, равнобедренный треугольник с основанием \( a \) и высотой \( h \) можно рассматривать как два прямоугольных треугольника с катетами \( \frac{a}{2} \) и \( h \).

Применим теорему Пифагора к одному из таких треугольников: \[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \] \[ a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2 \] \[ h^2 = \frac{3a^2}{4} \] \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, высота треугольника \( h \) равна: \[ h = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{6}}{2} \, \text{см} \]

3. Площадь равнобедренного треугольника: Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{2} \] \[ S = \frac{5 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{4} \] \[ S = \frac{25\sqrt{12}}{4} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь правильного треугольника, описанного вокруг данной окружности, равна \( \frac{25\sqrt{12}}{4} \, \text{см}^2 \).