Question

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3), с вектором нормали ñ, имеющим координаты (1;-2;4) (2 балла)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - вектор нормали к плоскости, а D - свободный коэффициент.

В данном случае вектор нормали задан и равен ñ = (1, -2, 4). Точка М(-1, 2, 3) также задана. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку М с вектором нормали ñ, имеет вид:

1(x + 1) - 2(y - 2) + 4(z - 3) = 0

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:

x - 2y + 4z - 11 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3) с вектором нормали ñ = (1;-2;4), равно x - 2y + 4z - 11 = 0.

Answer 2

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1;2;3) и имеющей вектор нормали n с координатами (1;-2;4), можно записать в виде:

n · (r - M) = 0,

где n - вектор нормали, r - произвольная точка плоскости, M - заданная точка M(-1;2;3).

Подставляя значения вектора нормали и точки M, получим:

(1;-2;4) · (r - (-1;2;3)) = 0.

Выполняем скалярное произведение:

(1;-2;4) · (x + 1; y - 2; z - 3) = 0,

(1 * (x + 1)) + (-2 * (y - 2)) + (4 * (z - 3)) = 0,

x + 1 - 2y + 4 + 4z - 12 = 0,

x - 2y + 4z - 7 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1;2;3) и имеющей вектор нормали n с координатами (1;-2;4), можно записать в виде:

x - 2y + 4z - 7 = 0.