Question

Розвʼязати з малюнком Через вершину конуса проведено площину під кутом альфа до площини основи. Ця площина перетинає основу конуса по хорді, яку видно із центра основи під кутом бета і відстань до якої від вершини конуса дорівнює h. Знайдіть площу перерізу конуса даною площиною.

Answer 1

Ответ:

Площа перерізу дорівнює    $\bf h^{2} \;cos\alpha \;tg\dfrac{\beta }{2}$ .

Объяснение:

Через вершину конуса проведено площину під кутом α до площини основи. Ця площина перетинає основу конуса по хорді, яку видно із центра основи під кутом β і відстань до якої від вершини конуса дорівнює h. Знайдіть площу перерізу конуса даною площиною.

1. Для побудови цього перерізу проводимо хорду основи АВ і з'єднуємо з вершиною S конуса. Так як твірні конуса SА та SВ рівні, то перерізом є рівнобедрений трикутник ASB.

2. Проведемо висоту конуса SО. З точки O проведемо перпендикуляр OH до хорди АВ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри SH⊥AB,  і тоді ∠SHO - є кутом між площиною перерізу і площиною основи.

∠SHO=α -  за умовою.

SH - відстань  від вершини конуса до хорди АВ. SH=h - за умовою.

∠АОВ=β  (хорду АВ, видно із центра основи під кутом β)

3. Розглянемо прямокутний ΔSOH (∠SOH=90°) (SO - перпендікуляр до площини основи).

За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо прилеглий катет ОН до кута ∠SHO=α  :

$\sf \cos\angle SHO =\dfrac{OH}{SH}$

OH=SH·cos∠SHO=h cosα

4. Розглянемо рівнобедрений ΔAOB, у якого бічні сторони AO=OB –  як радіуси основи конуса.

Висота OH у рівнобедреному ΔАОВ є також медіаною і бісектрисою (за властивістю). Тобто, ∠АОН=∠АОВ/2=β/2.

5. Розглянемо прямокутний ΔАОН (∠АНО=90°)

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет АН до кута ∠AOН=β/2.

$\sf tg\angle AOH=\dfrac{AH}{OH}$

$\sf AH=OH\cdot tg\angle AOH=h \cos\alpha\;tg\dfrac{\beta }{2}$

Так як ОН - медіана, то:

$\sf AB=2\cdot AH=2h\cos\alpha \cdot tg\dfrac{\beta }{2}$

6. Площа перерізу - ΔASB:

$\sf S=\dfrac{1}{2} AB\cdot SH=\dfrac{1}{2} \cdot2\;h\;cos\alpha \;tg\dfrac{\beta }{2}\cdot h =h^{2} \;cos\alpha \;tg\dfrac{\beta }{2}$

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти площу перерізу конуса даною площиною, спочатку розглянемо схему. Нехай \( ABC \) - основа конуса, \( O \) - вершина конуса, \( M \) - середина хорди \( DE \), \( \alpha \) - кут між площиною перерізу і площиною основи конуса, \( \beta \) - кут між хордою \( DE \) і лінією \( OM \), \( h \) - відстань від вершини конуса до площини перерізу, \( r \) - радіус основи конуса.

\[ \begin{array}{cccccccccccccccc} & & & & & & & & & & O & & & & & \\ & & & & & & & & / & \backslash & & & & & \\ & & & & & & & / & & \backslash & & & & & \\ & & & & & & / & & & \backslash & & & & & \\ & & & & & / & & & & \backslash & & & & & \\ & & & & / & & & & & & \backslash & & & & \\ & & & / & & & & & & & & \backslash & & & \\ & & / & & & & & & & & & & \backslash & & \\ & / & & & & & & & & & & & & \backslash \\ A & & & & & & & & & & & & & & B \\ & \backslash & & & & & & & & & & & / & \\ & & \backslash & & & & & & & & & / & \\ & & & \backslash & & & & & & & / & \\ & & & & \backslash & & & & & / & \\ & & & & & \backslash & & & / \\ & & & & & & \backslash & / \\ & & & & & & & C \\ \end{array} \]

Ми маємо рівнобедрений трикутник \( ODM \) зі стороною \( h \), основою \( r \) та кутом \( \beta \). Цей трикутник можна поділити на два прямокутні трикутники: \( ODE \) та \( ODM \). Використовуючи тригонометричні функції, можна записати:

\[ \begin{align*} \tan(\beta) &= \frac{r}{h} \\ \tan(\alpha) &= \tan(\beta) \cdot \cos(\beta) \end{align*} \]

За формулою для площі трикутника \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{height} \), можемо знайти площу трикутника \( ODE \):

\[ S_{ODE} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot h \]

Оскільки трикутник \( ODM \) рівнобедрений, то площа трикутника \( ODM \) дорівнює площі трикутника \( ODE \):

\[ S_{ODM} = S_{ODE} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot h \]

Тепер можемо знайти площу сегмента \( DME \). Площа сегмента рахується за формулою:

\[ S_{DME} = S_{ODE} - S_{\text{трикутника} ODM} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot h - \frac{1}{2} \cdot r \cdot h = 0 \]

Отже, площа перерізу конуса даною площиною буде рівна нулю.