Question

Через катет АВ прямокутного трикутника ABC (A = 90) проведено площину а. Знайдіть кут нахилу гіпотенузи до площини а, якщо АС = 6 дм, АВ - 8 дм, а точка С віддалена від площини а на 5 дм.

Answer 1

Ответ:

Угол наклона гипотенузы к плоскости α равен 30°.

Объяснение:

Через катет АВ прямоугольного треугольника ABC (∠A = 90°) проведена плоскость α. Найдите угол наклона гипотенузы к плоскости α, если АС = 6 дм, АВ = 8 дм, а точка С удалена от плоскости α на 5 дм.

Дано: ΔАВС - прямоугольный; ∠А = 90°;

АВ ⊂ α;  СК ⊥ α;

АС = 6 дм, АВ = 8 дм; СК = 5 дм.

Найти: угол наклона гипотенузы к плоскости α.

Решение:

• Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

СК ⊥ α   ⇒   ВК - проекция ВС на α.

⇒ ∠СВК - искомый угол.

1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем ВС:

ВС² = АВ² + АС² = 64 + 36 = 100   ⇒   ВС = √100 = 10 (дм)

2. Рассмотрим ΔВСК.

СК ⊥ α

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

⇒ СК ⊥ ВК  ⇒  ΔВСК - прямоугольный.

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle sin \angle CBK = \frac{CK}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

⇒ ∠СВК = 30°

#SPJ1

Answer 2

Поставимо такі позначення:

- кут нахилу гіпотенузи до площини утворений прямою ACS і площиною а у точці A - α; - відрізок CS - h (h = 5 дм).

Скористаємося теоремою Піфагора для знаходження гіпотенузи трикутника ABC: AB = √(AC² + BC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 дм.

Побудуємо пряму, перпендикулярну до площини а, з точки С. Ця пряма перетне гіпотенузу в точці D.

Оскільки трикутник ABC прямокутний, то по Катетовій теоремі маємо: AD = √(AB² - BD²), де BD - довжина відрізку CD.

За теоремою Піфагора маємо: BD² = h² + CD² = 5² + (10 - AD)².

Підставляючи значення AB = 10 дм, h = 5 дм, маємо: AD = √(10² - (5² + (10 - AD)²)).

Розв'язавши цю квадратну рівняння з однією невідомою, отримаємо два значення: AD1 ≈ 8.5 дм та AD2 ≈ 1.5 дм.

Розглянемо випадок, коли AD = AD1 ≈ 8.5 дм.

Тоді треба знайти кут α. Для цього використовується теорема синусів у прямокутному трикутнику ACD: sin(α) = h / AC = 5 / 10 = 0.5.

Звідси отримуємо, що α ≈ arcsin(0.5) ≈ 30°.

Отже, кут нахилу гіпотенузи до площини а дорівнює приблизно 30°.