Question

12.22.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через центри двох даних кіл: 1) x2 + y² – 4x + 2y + 4 = 0 i x² + y2 — 10x — 6y = 2; 2) x² + y² + 2x + 2y = 2 i x² + y² - 6x - 4y = 3.

Answer 1

Відповідь:Для першої пари коліс ми маємо:

Відновлюємо рівняння кола: x² - 4x + y² + 2y = -4

Знаходимо координати центра кола:

(x₀, y₀) = (2, -1)

А тепер знаходимо похідні коефіцієнти:

f'x = 2x - 4

f'y = 2y + 2

Отже, загальне рівняння прямої для першої пари коліс:

(2x - 4)y = (4 - 2x) + 4

2x - y = 4

Для другої пари коліс маємо:

Відновлюємо рівняння кола: x² + 2x + y² + 2y = -2

Знаходимо координати центра кола:

(x₀, y₀) = (-1, -1)

Знаходимо похідні коефіцієнти:

f'x = 2x + 2

f'y = 2y + 2

Отже, загальне рівняння прямої для другої пари коліс:

(2x + 2)y = (2 - 2x) - 2

2x + y = 2

Пояснення:

Answer 2

Щоб скласти рівняння прямої, яка проходить через центри двох даних кол, спершу слід знайти координати центрів кіл.

Дані кола задані рівняннями: 1) \( x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0 \) 2) \( x^2 + y^2 + 2x + 2y = 2 \) 3) \( x^2 + y^2 - 6x - 4y = 3 \)

Для знаходження координат центрів кіл розглянемо рівняння кожного кола у вигляді \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), де (a, b) - координати центру, а r - радіус кола.

1) \( x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0 \) Розкриваємо квадрати та групуємо за змінними: \( (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = -4 \) Записуємо у вигляді повного квадрата: \( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = -4 + 4 + 1 \) Отримуємо: \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1 \)

Звідси видно, що центр першого кола має координати (2, -1).

2) \( x^2 + y^2 + 2x + 2y = 2 \) Розкриваємо квадрати та групуємо за змінними: \( (x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) = 2 \) Записуємо у вигляді повного квадрата: \( (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 2 + 1 + 1 \) Отримуємо: \( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4 \)

Звідси видно, що центр другого кола має координати (-1, -1).

3) \( x^2 + y^2 - 6x - 4y = 3 \) Розкриваємо квадрати та групуємо за змінними: \( (x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) = 3 \) Записуємо у вигляді повного квадрата: \( (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 3 + 9 + 4 \) Отримуємо: \( (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 16 \)

Звідси видно, що центр третього кола має координати (3, 2).

Отже, ми знайшли координати центрів двох кіл: A(2, -1) і B(3, 2). Тепер можемо скласти рівняння прямої, яка проходить через ці центри. Використаємо формулу для рівняння прямої у вигляді \(y = mx + b\), де \(m\) - нахил прямої, \(b\) - зсув по осі y.

Нахил прямої визначається за формулою \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), де \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) - координати двох точок.

\[ m = \frac{2 - (-1)}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3 \]

Тепер оберемо одну з точок (скажімо, A(2, -1)) і підставимо координати та нахил у рівняння прямої для знаходження зсуву \(b\):

\[ -1 = 3 \cdot 2 + b \]

\[ b = -7 \]

Отже, рівняння прямої, яка проходить через центри двох даних кіл, має вигляд:

\[ y = 3x - 7 \]