Question

Два кола, центри яких розташовані по різні сторони від деякої прямої, дотикаються до цієї прямої. Знайти відстань між центрами кіл, якщо відрізок, що сполучає центри кіл, перетинає дану пряму під кутом 300, а радіуси кіл дорівнюють 8 см і 6 см.

Answer 1

Два круга, центры которых расположены по разные стороны от некоторой прямой, соприкасаются с этой прямой. Найти расстояние между центрами окружностей, если отрезок, соединяющий центры окружностей, пересекает данную прямую под углом 30°, а радиусы кругов равны 8 см и 6 см

Объяснение:

Введем обозначения , как показано на чертеже. Расстояние между центрами это отрезок АВ. Он равен АР+ВР

1) ΔАКР-прямоугольный по свойству касательной и радиуса , проведенного в точку касания . Угол ∠АРК=30° , значит гипотенуза АР=2*8=16 (см).

2) ΔВМР-прямоугольный по свойству касательной и радиуса , проведенного в точку касания . Угол ∠ВРМ=30° , значит гипотенуза ВР=2*6=12 (см).

3) АВ=16+12=28(см) .

====================

Свойство " Радиус , проведенный в точку касания  , перпендикулярен касательной.

Answer 2

Спочатку, давайте позначимо центри кіл як $O_1$ і $O_2$, а їхні радіуси як $r_1$ і $r_2$ відповідно.

Згідно з умовою, відрізок, що сполучає центри кіл, перетинає дану пряму під кутом 30 градусів. Тобто, утворюється прямокутний трикутник.

Знаючи величини кута і довжини сторін прямокутного трикутника, можна використати тригонометричні функції для знаходження відстані між центрами кіл.

Позначимо відстань між центрами кіл як $d$.

З тригонометричної функції кута в прямокутному трикутнику відомо:

$\tan(\theta) = \frac{{\text{{протилежна сторона}}}}{{\text{{прилегла сторона}}}}$

У нашому випадку протилежна сторона - це відстань між центрами $d$, а прилегла - це різниця радіусів $r_1$ і $r_2$. Таким чином:

$\tan(30^\circ) = \frac{d}{{r_1 - r_2}}$

За відомими значеннями $r_1 = 8 \, \text{см}$ і $r_2 = 6 \, \text{см}$, ми можемо вирішити це рівняння для $d$.

$\tan(30^\circ) = \frac{d}{{8 - 6}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{d}{2}$

$d = \frac{2}{\sqrt{3}} \, \text{см}$

Отже, відстань між центрами кіл дорівнює $\frac{2}{\sqrt{3}} \, \text{см}$.