Question

1. Знайти площу трикутника АВС, якщо А(2; 1; 2), В(2; 2; 1), С(2; 2; 2).

Answer 1

Ответ:

ответ:1

===================

Answer 2

Для нахождения площади треугольника по координатам его вершин можно воспользоваться формулой площади Герона. Однако в данном случае все вершины треугольника имеют одинаковую абсциссу x = 2. Это означает, что треугольник лежит на плоскости, параллельной плоскости XY, и его площадь можно найти, используя формулу площади прямоугольного треугольника на этой плоскости.

Для начала, найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), где \(\vec{AB} = B - A\) и \(\vec{AC} = C - A\).

1. \(\vec{AB} = B - A = (2 - 2, 2 - 1, 1 - 2) = (0, 1, -1)\) 2. \(\vec{AC} = C - A = (2 - 2, 2 - 1, 2 - 2) = (0, 1, 0)\)

Теперь найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\). Векторное произведение двух векторов находится по формуле:

\(\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right|\)

Раскрываем определитель:

\(\vec{N} = \hat{i} \cdot \left|1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1\right| - \hat{j} \cdot \left|0 \cdot 0 - 0 \cdot 0\right| + \hat{k} \cdot \left|0 \cdot 1 - 1 \cdot 0\right|\)

\(\vec{N} = \hat{i} \cdot 1 - \hat{j} \cdot 0 + \hat{k} \cdot 0 = \hat{i}\)

Таким образом, векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) равно \(\hat{i}\). Модуль этого вектора равен 1.

Теперь найдем длину вектора \(\vec{AB}\):

\[|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\]

Теперь можем найти площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \sin{\theta}\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Так как \(\vec{N} = \hat{i}\) и \(\hat{i}\) перпендикулярен плоскости XY, то угол \(\theta\) между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен 90 градусам, и \(\sin{\theta} = 1\).

Таким образом,

\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).