Question

Бісектриси кутів A і B трикутника ABC перетинають описане коло трикутника ABC у точках K і L відповідно. Відрізки AK і BL перетинаються в точці O так, що AO/OK = BO/OL . Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Answer 1

Ответ: См док-во ниже

Объяснение:

Имеем, что от резки АК и BL= хорды окружности, которые пересекаются в О.

Тогда AO*OK=BO*OL    =>  AO/(OK*$OL^{2}$)= BO/(OL*$OK^{2}$)

Т.к. AO/OK= BO/OL =>  1/$OL^{2}$ = 1/$OK^{2}$

=>OL=OK

Но так как AO*OK=BO*OL , то AO=BO => треугольник АВО - равнобедренный, углы АВО=ВАО . Но ВО и АO биссектрисы =>

углы АВС =ВАС =>  треугольник АВС равнобедренный .

Answer 2

Для доведення, що трикутник ABC є рівнобедреним, ми використаємо властивості бісектрис.

Оскільки бісектриси кутів A і B перетинають описане коло трикутника ABC у точках K і L відповідно, ми можемо застосувати теорему про перетин бісектрис.

Згідно з цією теоремою, ми маємо:

AK/KC = AB/BC (1) BL/LC = BA/AC (2)

Оскільки AO/OK = BO/OL, ми можемо записати:

(AO + OK)/OK = (BO + OL)/OL AO/OK + 1 = BO/OL + 1 AO/OK = BO/OL (3)

Тепер давайте розглянемо вираз AO/OK. Оскільки O є точкою перетину відрізків AK і BL, ми можемо застосувати теорему про ділення відрізка в точці перетину:

AO/OK = AB/BK (4)

Зараз ми можемо об'єднати рівняння (3) і (4):

AB/BK = BO/OL

Застосуємо теорему про ділення відрізка в точці перетину для виразу BO/OL:

AB/BK = BA/AL

Тепер ми можемо переписати рівняння (1) і (2):

AK/KC = BA/BC BA/AL = BA/AC

Звідси ми бачимо, що KC = BC і AL = AC.

Оскільки AK/KC = AK/BC і BA/AL = BA/AC, ми можемо записати:

AK/BC = BA/AC

Застосуємо теорему про ділення відрізка в точці перетину для виразу AK/BC:

AK/BA = AC/BC

Звідси ми бачимо, що трикутник ABC має рівні сторони AB і AC, тому він є рівнобедреним.