Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 Найти вектор x, удовлетворяющий равенству: 1) А1В1 + А1А + x = А1С 2) СВ + x = СА1 - СС1

Answer 1

Ответ:

1) $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{A_1D_1}$

2) $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{CD}$

Объяснение:

Найти вектор x, удовлетворяющий равенству:

1) $\overrightarrow{ A_1B_1} + \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{x} = \overrightarrow{A_1C}$      2) $\overrightarrow{ CB} + \overrightarrow{x} = \overrightarrow{CA_1} - \overrightarrow{CC_1}$

1)  Из данного уравнения выражаем x

$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{A_1C}-\overrightarrow{ A_1B_1} -\overrightarrow{A_1A}$

Вектора равны, если они сонаправлены и равны их длины. Отметим, что $\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$   и  $\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{D_1D}=-\overrightarrow{DD_1}$. Значит

$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{A_1C}-\overrightarrow{ A_1B_1} -\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{A_1C}+\overrightarrow{ CD} +\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{A_1D_1}$

2) Из данного уравнения выражаем x

$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{CA_1} - \overrightarrow{CC_1}-\overrightarrow{ CB}$

Аналогично предыдущему пункту необходимо найти для вектора $-\overrightarrow{CC_1}$ найти равный ему вектор, выходящий из A₁  - это вектор $\overrightarrow{A_1A}$ - приходим в точку A - значит теперь нужно найти вектор, равный $-\overrightarrow{CB}$ и выходящий из точки A - это вектор $-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}$. Значит

$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$

Answer 2

Для решения данной задачи, сначала найдем координаты векторов А1В1, А1А и А1С.

1) Вектор А1В1: Координаты точки А1: (x1, y1, z1) Координаты точки В1: (x2, y2, z2)

Вектор А1В1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

2) Вектор А1А: Координаты точки А: (x3, y3, z3)

Вектор А1А = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)

3) Вектор А1С: Координаты точки С: (x4, y4, z4)

Вектор А1С = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1)

Теперь составим уравнения, используя найденные векторы:

1) А1В1 + А1А + x = А1С (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) + (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) + x = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1)

2) СВ + x = СА1 - СС1 (x2 - x4, y2 - y4, z2 - z4) + x = (x1 - x4, y1 - y4, z1 - z4)

Теперь можно решить полученную систему уравнений относительно вектора x. Для этого нужно сложить соответствующие координаты векторов с каждой стороны равенства и приравнять их друг к другу:

x2 - x1 + x3 - x1 + x = x4 - x1 y2 - y1 + y3 - y1 + y = y4 - y1 z2 - z1 + z3 - z1 + z = z4 - z1

Таким образом, найденный вектор x будет иметь координаты (x, y, z), которые можно получить, решив полученную систему уравнений.