Question

Дан правильный шестиугольник abcdef. в базисе ab ac найти координаты векторов af, ef

Answer 1

1) FC = 2AB (диагональ правильного шестиугольника), тогда

CF = 2BA = -2AB и

AF = AC + CF = AC - 2AB

2) AB = DE (шестиугольник правильный)

FD = AC (свойство правильного шестиугольника, можно доказать через равенство треугольников ABC и FED), тогда

DF = CA = -AC и

EF = ED + DF = AB - AC

Answer 2

Чтобы найти координаты векторов \(\overrightarrow{AF}\) и \(\overrightarrow{EF}\) в базисе \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), мы можем воспользоваться методом разложения векторов по базису. Во-первых, давайте вспомним определение вектора и свойства треугольников.

Вектор \(\overrightarrow{AF}\) — это разность координат конечной точки \(F\) и начальной точки \(A\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{EF}\) — это разность координат конечной точки \(F\) и начальной точки \(E\).

Теперь обратим внимание на то, что вектор \( \overrightarrow{AB} \) соответствует стороне \(AB\) правильного шестиугольника, а вектор \( \overrightarrow{AC} \) соответствует стороне \(AC\).

Таким образом, мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{AF}\) и \(\overrightarrow{EF}\) следующим образом:

\[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} \] \[ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} \]

Теперь нужно выразить векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BF}\), \(\overrightarrow{EB}\) через базисные векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

1. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) выражается сам собой, поскольку он уже является базисным вектором.

2. Вектор \(\overrightarrow{BF}\) — это вектор, идущий от точки \(B\) к точке \(F\). В правильном шестиугольнике \(\overrightarrow{BF}\) совпадает с вектором \(\overrightarrow{AC}\).

3. Вектор \(\overrightarrow{EB}\) — это вектор, идущий от точки \(E\) к точке \(B\). В правильном шестиугольнике он совпадает с вектором \(\overrightarrow{AB}\).

Таким образом, мы можем записать:

\[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]

Таким образом, координаты векторов \(\overrightarrow{AF}\) и \(\overrightarrow{EF}\) в базисе \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) будут соответствовать координатам вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).