Question

Помогите, пожалуйста, решить. Прямая, не параллельная стороне AC треугольника ABC, делит каждую из двух других сторон в отношении 3:4. при этом образуется треугольник BMK и четырехугольник AMKC. Площадь четырехугольника AMKC равна 111. Найти площадь треугольника ABC

Answer 1

Ответ:

147 кв. ед.

Объяснение:

Если бы прямая МК делила стороны ВС и АВ в отношении 3 : 4, считая от вершины В, то МК была бы параллельна АС (теорема, обратная теореме Фалеса).

Тогда ВМ : МА = 3 : 4, а ВК : КС = 4 : 3.

Введем обозначения как на рисунке.

Площадь треугольника АВС:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin\angle B$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 7x\cdot 7y\cdot \sin\angle B=\dfrac{49xy\; \sin\angle B}{2}$

Площадь треугольника ВМК:

$S_{BMK}=\dfrac{1}{2}BM\cdot BK\cdot \sin\angle B$

$S_{BMK}=\dfrac{1}{2}\cdot 3x\cdot 4y\cdot \sin\angle B=6xy\; \sin\angle B$

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{BMK}}=\dfrac{49xy\; \sin\angle B}{2}\cdot \dfrac{1}{6xy\; \sin\angle B}=\dfrac{49}{12}$

То есть площадь треугольника ВМК составляет 12 частей, а площадь треугольника АВС - 49 частей.

Тогда площадь четырехугольника АМКС составляет:

49 - 12 = 37 частей.

Итак,

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{AMKC}}=\dfrac{49}{37}$

$S_{ABC}=\dfrac{S_{AMKC}\cdot 49}{37}=\dfrac{111\cdot 49}{37}=3\cdot 49=147$

Answer 2

Давайте обозначим вершины треугольника ABC как A, B и C, а точку, где прямая пересекает сторону AC, как K. Точка пересечения прямой с другими сторонами треугольника обозначается как M. Теперь у нас есть следующая информация:

1. AM : MK = 3 : 4 (прямая делит сторону AB в отношении 3:4). 2. AK : KC = 3 : 4 (прямая делит сторону BC в отношении 3:4). 3. Площадь четырехугольника AMKC равна 111.

Мы хотим найти площадь треугольника ABC. Для этого давайте воспользуемся площадью четырехугольника AMKC и отношениями сторон:

Площадь четырехугольника AMKC (S_AMKC) можно выразить как сумму площадей треугольников AMK и CKM:

\[ S_{AMKC} = S_{AMK} + S_{CKM} \]

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height \]

1. Площадь треугольника AMK (S_AMK): \[ S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MK \] 2. Площадь треугольника CKM (S_CKM): \[ S_{CKM} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot KM \]

Мы знаем, что \[ AM : MK = 3 : 4 \] и \[ AK : KC = 3 : 4 \].

Теперь подставим все известные значения:

\[ S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot S_{AMKC} \]

\[ S_{CKM} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot S_{AMKC} \]

Теперь подставим значения и решим для \( S_{AMKC} \):

\[ 111 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot S_{AMKC} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot S_{AMKC} \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \( S_{AMKC} \).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать те же отношения:

\[ S_{ABC} = \frac{3}{7} \cdot S_{AMKC} \]

Подставим найденное значение \( S_{AMKC} \) и решим для \( S_{ABC} \).