Question

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны АВ = ВС = 25, а высота BH = 20. Найдите длину окружностивписанной в треугольник АВС.

Answer 1

Ответ: 16π

Объяснение:

т.к. высота является и медианой, то найдем половину третьей стороны по Пифагору, т.е. √(25²-20²)=√225=15,  значит, третья сторона треугольника 15*2=30, полупериметр равен (25+20+30)/2=75/2, а площадь треугольника ВН*АС/2=20*15=300

с другой стороны, эта же площадь произведение полупериметра на радиус, 75r/2=300;r=600/75=8, радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 8, тогда длина такой окружности равна 2πr=16π

Answer 2

Чтобы найти длину окружности вписанной в треугольник ABC, давайте воспользуемся формулой, связывающей радиус окружности вписанной в треугольник и площадь треугольника. Формула имеет вид:

\[S = r \cdot p,\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(r\) - радиус вписанной окружности, \(p\) - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту:

\[S = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC.\]

Полупериметр \(p\) равен сумме половины основания и двух равных боковых сторон:

\[p = \frac{1}{2} \cdot (AB + AC + BC).\]

Исходя из условия задачи, известны значения \(AB\), \(AC\) и \(BH\). Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника и полупериметр.

\[S = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 25 = 250.\]

\[p = \frac{1}{2} \cdot (AB + AC + BC) = \frac{1}{2} \cdot (25 + 25 + BC) = 25 + \frac{1}{2} \cdot BC.\]

Теперь мы можем подставить значения \(S\) и \(p\) в формулу для радиуса вписанной окружности и выразить радиус:

\[250 = r \cdot (25 + \frac{1}{2} \cdot BC).\]

Решив это уравнение, найдем значение \(BC\), которое затем позволит нам вычислить длину окружности. Однако, нам не хватает информации о третьем боковом отрезке треугольника \(BC\), поэтому задача в данный момент не полностью решена.