Question

Из точки M к окружности с центром О проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B , если <AOB=60°,MA=20​

Answer 1

20√3

решение в приложении

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробно. У нас есть точка \(M\), которая находится вне окружности с центром \(O\). Из этой точки проведены касательные \(MA\) и \(MB\) к окружности. Также известно, что угол \(AOB\) равен \(60^\circ\) и \(MA = 20\).

Нам нужно найти расстояние между точками касания \(A\) и \(B\).

Поскольку \(MA\) и \(MB\) - касательные, они образуют прямые углы с радиусами, проведенными к точкам касания. Таким образом, у нас есть прямоугольные треугольники \(OAM\) и \(OBM\), где \(OA\) и \(OB\) - радиусы окружности.

У нас есть следующие сведения:

1. \(AOB = 60^\circ\) 2. \(MA = 20\)

Также мы знаем, что углы, образованные радиусом и касательной, являются прямыми углами. Это означает, что у нас есть два прямоугольных треугольника \(OAM\) и \(OBM\), и мы можем использовать тригонометрию для нахождения сторон этих треугольников.

Обозначим длину радиуса как \(r\). Тогда:

В треугольнике \(OAM\): \[ \tan(\angle OAM) = \frac{MA}{OA} \]

В треугольнике \(OBM\): \[ \tan(\angle OBM) = \frac{MB}{OB} \]

Так как угол \(AOB\) равен \(60^\circ\), то \(\angle OAM\) и \(\angle OBM\) равны половине этого угла, то есть \(30^\circ\).

Теперь мы можем записать уравнения:

1. \[ \tan(30^\circ) = \frac{20}{r} \] 2. \[ \tan(30^\circ) = \frac{MB}{r} \]

Решив эти уравнения, мы найдем \(r\) и \(MB\). Затем мы сможем найти длину отрезка \(AB\), который равен удвоенной длине \(MB\), так как \(AB\) - диаметр окружности.

\[ AB = 2 \cdot MB \]

Таким образом, следует решить систему уравнений для нахождения \(r\) и \(MB\), а затем найти \(AB\).