Question

Помогите! Геометрия В равнобокой трапеции диагонали являются биссектрисами тупых углов. Расстояния от точки пересечения диагоналей к основаниям трапеции равны 2,25 см и 9,75 см. Найдите периметр трапеции, если средняя линия равна 8 см.

Answer 1

Ответ:

42

Объяснение в фото

Answer 2

Давайте обозначим равнобокую трапецию следующим образом:

- \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, где \(AB\) - большее основание, \(CD\) - меньшее основание. - \(AC\) и \(BD\) - боковые стороны трапеции. - \(E\) - точка пересечения диагоналей.

Из условия известно, что диагонали \(AC\) и \(BD\) являются биссектрисами тупых углов трапеции. Это означает, что \(\angle CAD = \angle DBC\) и \(\angle CDA = \angle CBD\).

Также известно, что расстояния от точки пересечения диагоналей \(E\) к основаниям трапеции равны 2,25 см и 9,75 см. Обозначим эти расстояния как \(h_1\) и \(h_2\) соответственно.

Итак, у нас есть:

\[h_1 = 2,25 \, \text{см}\] \[h_2 = 9,75 \, \text{см}\]

Также известно, что средняя линия трапеции равна 8 см. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон \(AC\) и \(BD\), обозначим ее как \(M\).

Таким образом, \(ME = \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2} = 8 \, \text{см}\).

Теперь давайте рассмотрим треугольники \(AME\) и \(BME\). У этих треугольников углы при вершине \(M\) равны, так как \(ME\) - средняя линия, а углы при основаниях боковых сторон равны из-за биссектрис. Таким образом, треугольники \(AME\) и \(BME\) подобны, и мы можем записать пропорцию:

\[\frac{h_1}{h_2} = \frac{AM}{BM}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{2,25}{9,75} = \frac{8}{BM}\]

Теперь найдем \(BM\):

\[BM = \frac{9,75 \cdot 8}{2,25} \, \text{см}\]

Теперь мы можем найти длины боковых сторон трапеции:

\[AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \, \text{см} = 16 \, \text{см}\] \[BD = 2 \cdot BM = 2 \cdot \frac{9,75 \cdot 8}{2,25} \, \text{см}\]

Теперь у нас есть все необходимые стороны трапеции для вычисления периметра.

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:

\[P = AB + AC + BD + CD\]

Подставим известные значения и вычислим:

\[P = AB + 16 \, \text{см} + \left(2 \cdot \frac{9,75 \cdot 8}{2,25}\right) + CD\]

Так как трапеция равнобокая, то \(AB = CD\), и мы можем записать:

\[P = 2 \cdot AB + 16 \, \text{см} + \left(2 \cdot \frac{9,75 \cdot 8}{2,25}\right)\]

Теперь вычислим значение периметра трапеции.